Objetivo: encontrar X(t) (função vetorial de t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]
Passo 2
Ideia de solução (explicação didática): procurar soluções do tipo
X(t)=v e^{\lambda t},
onde v é um vetor constante (autovetor) e \lambda é um número (autovalor). Por quê? Se X(t)=v e^{\lambda t} então
X'(t)=\lambda v e^{\lambda t}
e a equação X'=AX exige
\lambda v e^{\lambda t}=A v e^{\lambda t}.
Dividindo por e^{\lambda t} (que nunca é zero) obtemos
A v=\lambda v,
ou seja, v e \lambda devem ser um par autovetor/autovalor de A. Assim, as soluções do sistema podem ser combinadas a partir dos autovetores multiplicados por exponenciais e^{\lambda t}. Se A tem dois autovalores distintos com autovetores linearmente independentes, a solução geral é combinação linear dessas soluções.
Passo 3
Vamos calcular os autovalores encontrando o polinômio característico:
Da primeira linha: -x+6y=0 então x=6y. Escolhendo y=1 obtemos o autovetor
v_{2}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 6
Como \lambda_{1} e \lambda_{2} são distintos e v_{1},v_{2} são linearmente independentes, a solução geral do sistema é
X(t)=c_{1} v_{1} e^{2t}+c_{2} v_{2} e^{-3t},
onde c_{1} e c_{2} são constantes determinadas pela condição inicial.
Passo 7
Aplicar a condição inicial X(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}\). Em \(t=0\) temos
\[X(0)=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
(Se quiser, faça o cheque rápido: em t=0 dá \begin{pmatrix}-13/5+18/5\\[4pt]-13/5+3/5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}, conferindo a condição inicial.)]