Resolva o problema de valor inicial
X^{\prime}=A X, \quad A=\left[\begin{array}{ll} -4 & 6 \\\\ -1 & 3 \end{array}\right], \quad X(0)=\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ -2 \end{array}\right] .

Passo 1

O problema pede para resolver o problema de valor inicial dado por
X'(t)=A X(t),\qquad A=\begin{pmatrix}-4 & 6\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix},\qquad X(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix}-4 & 6\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix},\qquad X(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Objetivo: encontrar X(t) (função vetorial de t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]

Passo 2

Ideia de solução (explicação didática): procurar soluções do tipo
X(t)=v e^{\lambda t},
onde v é um vetor constante (autovetor) e \lambda é um número (autovalor). Por quê? Se X(t)=v e^{\lambda t} então
X'(t)=\lambda v e^{\lambda t}
e a equação X'=AX exige
\lambda v e^{\lambda t}=A v e^{\lambda t}.
Dividindo por e^{\lambda t} (que nunca é zero) obtemos
A v=\lambda v,
ou seja, v e \lambda devem ser um par autovetor/autovalor de A. Assim, as soluções do sistema podem ser combinadas a partir dos autovetores multiplicados por exponenciais e^{\lambda t}. Se A tem dois autovalores distintos com autovetores linearmente independentes, a solução geral é combinação linear dessas soluções.

Passo 3

Vamos calcular os autovalores encontrando o polinômio característico:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-4-\lambda & 6\\[4pt]-1 & 3-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule o determinante passo a passo:
\det(A-\lambda I)=(-4-\lambda)(3-\lambda)-6\cdot(-1).
Expansão:
(-4-\lambda)(3-\lambda)=(-4)\cdot 3 + (-4)(-\lambda) + (-\lambda)\cdot 3 + (-\lambda)(-\lambda)
= -12 +4\lambda -3\lambda +\lambda^{2} = \lambda^{2}+\lambda-12.
Somando o termo +6 (porque -6\cdot(-1)=+6):
\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}+\lambda-12+6=\lambda^{2}+\lambda-6.
Agora resolvemos \lambda^{2}+\lambda-6=0. Fatorando:
\lambda^{2}+\lambda-6=(\lambda+3)(\lambda-2).
Logo os autovalores são
\lambda_{1}=2,\qquad \lambda_{2}=-3.]

Passo 4

Encontrar o autovetor associado a \lambda_{1}=2. Resolvemos (A-2I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix}-4-2 & 6\\[4pt]-1 & 3-2\end{pmatrix}v=\begin{pmatrix}-6 & 6\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}v=0.
Das equações da matriz, a primeira linha dá -6 x+6 y=0, ou seja y=x. Podemos escolher x=1, então um autovetor correspondente é
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(Qualquer múltiplo de v_{1} também serve.)]

Passo 5

Encontrar o autovetor associado a \lambda_{2}=-3. Resolvemos (A+3I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix}-4+3 & 6\\[4pt]-1 & 3+3\end{pmatrix}v=\begin{pmatrix}-1 & 6\\[4pt]-1 & 6\end{pmatrix}v=0.
Da primeira linha: -x+6y=0 então x=6y. Escolhendo y=1 obtemos o autovetor
v_{2}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Como \lambda_{1} e \lambda_{2} são distintos e v_{1},v_{2} são linearmente independentes, a solução geral do sistema é
X(t)=c_{1} v_{1} e^{2t}+c_{2} v_{2} e^{-3t},
onde c_{1} e c_{2} são constantes determinadas pela condição inicial.

Passo 7

Aplicar a condição inicial X(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}\). Em \(t=0\) temos \[X(0)=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Escrevendo as componentes:
c_{1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+c_{2}\begin{pmatrix}6\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema linear para c_{1},c_{2}:
\begin{cases} c_{1}+6c_{2}=1,\\[4pt] c_{1}+c_{2}=-2. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira:
( c_{1}+6c_{2} ) - ( c_{1}+c_{2} ) = 1 - (-2) \implies 5c_{2}=3.
Logo
c_{2}=\frac{3}{5}.
Substituindo em (c_{1}+c_{2}=-2]:
c_{1}=-2-c_{2}=-2-\frac{3}{5}=-\frac{10}{5}-\frac{3}{5}=-\frac{13}{5}.]

Passo 8

Substituindo c_{1} e c_{2} na solução geral, obtemos
X(t)=-\frac{13}{5}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{2t}+\frac{3}{5}\begin{pmatrix}6\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{-3t}.
Podemos escrever as componentes explicitamente:
X(t)=\begin{pmatrix} -\dfrac{13}{5}e^{2t}+\dfrac{18}{5}e^{-3t}\\[10pt] -\dfrac{13}{5}e^{2t}+\dfrac{3}{5}e^{-3t} \end{pmatrix}.
(Se quiser, faça o cheque rápido: em t=0 \begin{pmatrix}-13/5+18/5\\[4pt]-13/5+3/5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}, conferindo a condição inicial.)]

Resposta

X(t)=-\frac{13}{5}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{2t}+\frac{3}{5}\begin{pmatrix}6\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{-3t}]

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