Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen}^{2}(w) \cos ^{2}(3 w) \mathrm{d} w.
\int \operatorname{sen}^{2}(w) \cos ^{2}(3 w) \mathrm{d} w.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
é a variável de integração.
Queremos uma primitiva da função , ou seja, uma expressão
tal que
. Ao final devemos acrescentar a constante de integração
.
Queremos uma primitiva da função
Passo 2
Estratégia (explicação didática das ferramentas que vou usar).
Aqui a boa saída é reduzir potências de seno e cosseno usando identidades trigonométricas de ângulo duplo (identidades de redução de potência) e, quando necessário, a identidade produto-para-soma. Vou explicar cada uma e de onde vêm.
Aqui a boa saída é reduzir potências de seno e cosseno usando identidades trigonométricas de ângulo duplo (identidades de redução de potência) e, quando necessário, a identidade produto-para-soma. Vou explicar cada uma e de onde vêm.
Identidade de ângulo duplo que leva à redução de potência:
Desse resultado isolamos
:
Analogamente, a partir de
obtemos
Essas fórmulas significam: para reduzir o quadrado de seno ou cosseno, substituímos por uma combinação de constantes e cossenos de ângulo duplo — isso transforma potências em somas de cossenos fáceis de integrar.
Outra identidade útil é a produto-para-soma para cossenos:
Ela nos ajuda quando aparece um produto de dois cossenos, transformando-o em soma de cossenos de frequências diferentes.
Vou aplicar essas identidades passo a passo.
Passo 3
Aplicando as reduções de potência a
e
.
Primeiro,
E
Portanto o produto vale
Passo 4
Expandindo o produto dentro do parênteses e simplificando.
Calculamos
Então
Passo 5
Aplicando a identidade produto-para-soma ao termo
.
Pela fórmula
pois
.
Substituindo isso na expressão anterior obtemos
Agora temos a integranda escrita como soma de termos simples (constante e cossenos), prontos para integrar termo a termo.
Passo 6
Integrando termo a termo. Lembrete: a primitiva de
em relação a
é
, pois
.
Integrando cada parcela:
Passo 7
Somando todas as primitivas obtidas e acrescentando a constante de integração
:
Essa é uma primitiva de
; você pode checar derivando
e confirmando que volta para a integranda. Pequeno incentivo: se estiver inseguro, teste numericamente para algum valor de
e compare derivada aproximada com
.