Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen}^{2}(w) \cos ^{2}(3 w) \mathrm{d} w.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{2}(w)\,\cos^{2}(3w)\, \mathrm{d}w.
Informações dadas:
\,w é a variável de integração.
Queremos uma primitiva da função f(w)=\sin^{2}(w)\cos^{2}(3w), ou seja, uma expressão F(w) tal que F'(w)=\sin^{2}(w)\cos^{2}(3w). Ao final devemos acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia (explicação didática das ferramentas que vou usar).
Aqui a boa saída é reduzir potências de seno e cosseno usando identidades trigonométricas de ângulo duplo (identidades de redução de potência) e, quando necessário, a identidade produto-para-soma. Vou explicar cada uma e de onde vêm.
Identidade de ângulo duplo que leva à redução de potência:
\cos(2x)=1-2\sin^{2}(x).
Desse resultado isolamos \sin^{2}(x):
\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Analogamente, a partir de \cos(2x)=2\cos^{2}(x)-1 obtemos
\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Essas fórmulas significam: para reduzir o quadrado de seno ou cosseno, substituímos por uma combinação de constantes e cossenos de ângulo duplo — isso transforma potências em somas de cossenos fáceis de integrar.
Outra identidade útil é a produto-para-soma para cossenos:
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr).
Ela nos ajuda quando aparece um produto de dois cossenos, transformando-o em soma de cossenos de frequências diferentes.
Vou aplicar essas identidades passo a passo.

Passo 3

Aplicando as reduções de potência a \sin^{2}(w) e \cos^{2}(3w).
Primeiro,
\sin^{2}(w)=\frac{1-\cos(2w)}{2}.
E
\cos^{2}(3w)=\frac{1+\cos(6w)}{2}.
Portanto o produto vale
\sin^{2}(w)\cos^{2}(3w)=\frac{1}{4}\bigl(1-\cos(2w)\bigr)\bigl(1+\cos(6w)\bigr).

Passo 4

Expandindo o produto dentro do parênteses e simplificando.
Calculamos
\begin{aligned} \bigl(1-\cos(2w)\bigr)\bigl(1+\cos(6w)\bigr) &=1+\cos(6w)-\cos(2w)-\cos(2w)\cos(6w). \end{aligned}
Então
\sin^{2}(w)\cos^{2}(3w)=\frac{1}{4}\Bigl(1+\cos(6w)-\cos(2w)-\cos(2w)\cos(6w)\Bigr).

Passo 5

Aplicando a identidade produto-para-soma ao termo \cos(2w)\cos(6w).
Pela fórmula
\cos(2w)\cos(6w)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(8w)+\cos(-4w)\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(8w)+\cos(4w)\bigr),
pois \cos(-4w)=\cos(4w).
Substituindo isso na expressão anterior obtemos
\begin{aligned} \sin^{2}(w)\cos^{2}(3w) &=\frac{1}{4}\Bigl(1+\cos(6w)-\cos(2w)-\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(8w)+\cos(4w)\bigr)\Bigr) \\\ &=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\cos(2w)-\frac{1}{8}\cos(4w)+\frac{1}{4}\cos(6w)-\frac{1}{8}\cos(8w). \end{aligned}
Agora temos a integranda escrita como soma de termos simples (constante e cossenos), prontos para integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando termo a termo. Lembrete: a primitiva de \cos(k w) em relação a w é \dfrac{1}{k}\sin(k w), pois \dfrac{d}{dw}\sin(k w)=k\cos(k w).
Integrando cada parcela:
  1. \displaystyle \int \frac{1}{4}\, \mathrm{d}w = \frac{w}{4}.
  2. \displaystyle \int -\frac{1}{4}\cos(2w)\, \mathrm{d}w = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\sin(2w)=-\frac{1}{8}\sin(2w).
  3. \displaystyle \int -\frac{1}{8}\cos(4w)\, \mathrm{d}w = -\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4}\sin(4w)=-\frac{1}{32}\sin(4w).
  4. \displaystyle \int \frac{1}{4}\cos(6w)\, \mathrm{d}w = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}\sin(6w)=\frac{1}{24}\sin(6w).
  5. \displaystyle \int -\frac{1}{8}\cos(8w)\, \mathrm{d}w = -\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{8}\sin(8w)=-\frac{1}{64}\sin(8w).

Passo 7

Somando todas as primitivas obtidas e acrescentando a constante de integração C:
F(w)=\frac{w}{4}-\frac{1}{8}\sin(2w)-\frac{1}{32}\sin(4w)+\frac{1}{24}\sin(6w)-\frac{1}{64}\sin(8w)+C.
Essa é uma primitiva de \sin^{2}(w)\cos^{2}(3w); você pode checar derivando F(w) e confirmando que volta para a integranda. Pequeno incentivo: se estiver inseguro, teste numericamente para algum valor de w e compare derivada aproximada com \sin^{2}(w)\cos^{2}(3w).

Resposta

\frac{w}{4}-\frac{1}{8}\sin(2w)-\frac{1}{32}\sin(4w)+\frac{1}{24}\sin(6w)-\frac{1}{64}\sin(8w)+C

Exercícios relacionados