Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int x \cdot \sqrt[3]{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \cdot \sqrt[3]{2x}\,dx.
O conteúdo aqui é integração usando a regra de potência \displaystyle \int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C
e a propriedade de fator constante \displaystyle \int a\,f(x)dx = a\int f(x)dx.

Passo 2

Reescrevemos a raiz cúbica em forma de potência:
\sqrt[3]{2x} = (2x)^{\tfrac13} = 2^{\tfrac13}\,x^{\tfrac13}.
Logo o integrando fica
x\cdot \sqrt[3]{2x} = 2^{\tfrac13}\,x\cdot x^{\tfrac13} = 2^{\tfrac13}\,x^{\tfrac43}.

Passo 3

Aplicamos a propriedade de fator constante e a regra de potência:
\int x\cdot \sqrt[3]{2x}\,dx = 2^{\tfrac13}\int x^{\tfrac43}dx = 2^{\tfrac13}\,\frac{x^{\tfrac43+1}}{\tfrac43+1}+C.

Passo 4

Como \tfrac43+1 = \tfrac73, temos
\frac{x^{\tfrac73}}{\tfrac73} = \frac{3}{7}\,x^{\tfrac73},
então
2^{\tfrac13}\,\frac{3}{7}\,x^{\tfrac73} + C = \frac{3\cdot 2^{\tfrac13}}{7}\,x^{\tfrac73} + C.

Resposta

\frac{3\cdot 2^{\tfrac13}}{7}\,x^{\tfrac73} + C

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