Em cada item, determine a função f sabendo que:
f^{\prime}(x)=\frac{4 x}{x^{2}-1} e que f(0)=-3.

Passo 1

O enunciado fornece a derivada
f'(x)=\frac{4x}{x^{2}-1}
e pede que encontremos a função f cuja condição inicial é f(0)=-3. O conteúdo é antiderivação (integração indefinida) usando substituição.

Passo 2

Escrevemos a integral que nos dá f(x):
f(x)=\int \frac{4x}{x^{2}-1}\,dx + C.
Fazendo a substituição
u = x^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad 4x\,dx = 2\,du,
a integral fica
\int \frac{4x}{x^{2}-1}\,dx = \int \frac{2}{u}\,du.

Passo 3

Integramos em u:
\int \frac{2}{u}\,du = 2\ln\bigl|u\bigr| + C = 2\ln\bigl|x^{2}-1\bigr| + C.
Portanto
f(x)=2\ln\bigl|x^{2}-1\bigr| + C.

Passo 4

Usamos a condição f(0)=-3. Como 0^{2}-1=-1 e \ln|{-1}|=\ln1=0, temos
f(0)=2\cdot 0 + C = C = -3.
Logo C=-3.

Resposta

f(x)=2\ln\bigl|x^{2}-1\bigr|-3.

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