Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a) \int 4 x^{3} d x
b) \int x d x
c) \int x^{2} \cdot x^{4} d x
d) \int \sqrt{x} d x
e) \int 7 d x
f) \int \frac{d x}{x^{2}}
g) \int x \sqrt{x} d x
h) \int \frac{1}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as seguintes integrais indefinidas (todas em relação a x):
a) \displaystyle \int 4 x^{3}\,dx
b) \displaystyle \int x\,dx
c) \displaystyle \int x^{2}\cdot x^{4}\,dx
d) \displaystyle \int \sqrt{x}\,dx
e) \displaystyle \int 7\,dx
f) \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}}
g) \displaystyle \int x\sqrt{x}\,dx
h) \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Regra do fator constante: \displaystyle \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx, onde a é constante. Significa que posso tirar constantes multiplicativas para fora da integral.
  • Regra da soma: \displaystyle \int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
  • Regra da potência (caso geral): para todo n\in\mathbb{R} com n\neq -1,
\displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui x é a variável de integração e n é o expoente.
  • Caso especial n=-1: \displaystyle \int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. Usamos valor absoluto porque \ln(x) só está definido para x>0, mas a primitiva deve contemplar também x<0.
Vou aplicar essas regras a cada item, lembrando de reescrever raízes e potências negativas como potências x^{n} quando for conveniente.

Passo 3

Resolvendo (a) \displaystyle \int 4 x^{3}\,dx.
  1. Tirar a constante 4 para fora: \displaystyle \int 4 x^{3}\,dx = 4\int x^{3}\,dx.
  2. Usar a regra da potência com n=3: \displaystyle \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C.
  3. Multiplicando pelo 4: 4\cdot\frac{x^{4}}{4} + C = x^{4} + C.

Passo 4

Resolvendo (b) \displaystyle \int x\,dx.
  1. Aqui x = x^{1}. Aplicar a regra da potência com n=1: \displaystyle \int x^{1}\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 5

Resolvendo (c) \displaystyle \int x^{2}\cdot x^{4}\,dx.
  1. Somar expoentes ao multiplicar potências com mesma base: x^{2}\cdot x^{4}=x^{2+4}=x^{6}.
  2. Aplicar a regra da potência com n=6: \displaystyle \int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7} + C.

Passo 6

Resolvendo (d) \displaystyle \int \sqrt{x}\,dx.
  1. Reescrever a raiz como potência: \sqrt{x}=x^{1/2}.
  2. Aplicar a regra da potência com n=\tfrac{1}{2}:
\displaystyle \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C.
  1. Simplificar a fração: \displaystyle \frac{1}{3/2}=\frac{2}{3}, então \displaystyle \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C.

Passo 7

Resolvendo (e) \displaystyle \int 7\,dx.
  1. Tratar 7 como constante multiplicando 1: \displaystyle \int 7\,dx = 7\int 1\,dx.
  2. \displaystyle \int 1\,dx = x + C. Portanto \displaystyle \int 7\,dx = 7x + C.

Passo 8

Resolvendo (f) \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}}.
  1. Reescrever como potência: \displaystyle \frac{1}{x^{2}} = x^{-2}.
  2. Aplicar a regra da potência com n=-2 (observe que n\neq -1, então a fórmula vale):
\displaystyle \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -x^{-1} + C.
  1. Reescrever x^{-1} como \frac{1}{x}: \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}} = -\frac{1}{x} + C.

Passo 9

Resolvendo (g) \displaystyle \int x\sqrt{x}\,dx.
  1. Reescrever \sqrt{x}=x^{1/2}, então x\sqrt{x}=x\cdot x^{1/2}=x^{1+1/2}=x^{3/2}.
  2. Aplicar a regra da potência com n=\tfrac{3}{2}:
\displaystyle \int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} + C = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C.
  1. Simplificar: \displaystyle \frac{1}{5/2}=\frac{2}{5}. Logo \displaystyle \int x\sqrt{x}\,dx = \frac{2}{5}x^{5/2} + C.

Passo 10

Resolvendo (h) \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx.
  1. Este é o caso especial n=-1. A regra da potência não vale para n=-1. Em vez disso, conhecemos a primitiva:
\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  1. Justificativa curta: a derivada de \ln|x| é \dfrac{d}{dx}\ln|x| = \dfrac{1}{x} para x\neq 0, por isso é a primitiva correta. Lembrar do valor absoluto para contemplar x<0.

Passo 11

Dica rápida para a prova: sempre reescreva raízes como potências x^{n} e potências negativas como x^{n} antes de aplicar a regra da potência; verifique se o expoente é -1 (caso especial do \ln|x|). Respire fundo — com essas regras básicas fica bem mecânico resolver esse tipo de integral. Força!

Resposta

(a) \displaystyle x^{4}+C
(b) \displaystyle \frac{x^{2}}{2}+C
(c) \displaystyle \frac{x^{7}}{7}+C
(d) \displaystyle \frac{2}{3}x^{3/2}+C
(e) \displaystyle 7x+C
(f) \displaystyle -\frac{1}{x}+C
(g) \displaystyle \frac{2}{5}x^{5/2}+C
(h) \displaystyle \ln|x|+C

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