Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as seguintes integrais indefinidas (todas em relação a
):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada símbolo):
- Regra do fator constante:
, onde é constante. Significa que posso tirar constantes multiplicativas para fora da integral. - Regra da soma:
. - Regra da potência (caso geral): para todo
com ,
onde
é a constante de integração. Aqui
é a variável de integração e
é o expoente.
- Caso especial
: . Usamos valor absoluto porque só está definido para , mas a primitiva deve contemplar também .
Vou aplicar essas regras a cada item, lembrando de reescrever raízes e potências negativas como potências
quando for conveniente.
Passo 3
Resolvendo (a)
.
- Tirar a constante
para fora: . - Usar a regra da potência com
: . - Multiplicando pelo
: .
Passo 4
Resolvendo (b)
.
- Aqui
. Aplicar a regra da potência com : .
Passo 5
Resolvendo (c)
.
- Somar expoentes ao multiplicar potências com mesma base:
. - Aplicar a regra da potência com
: .
Passo 6
Resolvendo (d)
.
- Reescrever a raiz como potência:
. - Aplicar a regra da potência com
:
- Simplificar a fração:
, então .
Passo 7
Resolvendo (e)
.
- Tratar
como constante multiplicando : . -
. Portanto .
Passo 8
Resolvendo (f)
.
- Reescrever como potência:
. - Aplicar a regra da potência com
(observe que , então a fórmula vale):
- Reescrever
como : .
Passo 9
Resolvendo (g)
.
- Reescrever
, então . - Aplicar a regra da potência com
:
- Simplificar:
. Logo .
Passo 10
Resolvendo (h)
.
- Este é o caso especial
. A regra da potência não vale para . Em vez disso, conhecemos a primitiva:
- Justificativa curta: a derivada de
é para , por isso é a primitiva correta. Lembrar do valor absoluto para contemplar .
Passo 11
Dica rápida para a prova: sempre reescreva raízes como potências
e potências negativas como
antes de aplicar a regra da potência; verifique se o expoente é
(caso especial do
). Respire fundo — com essas regras básicas fica bem mecânico resolver esse tipo de integral. Força!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)