Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
com as condições dadas
e
.
Informações relevantes fornecidas:
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) geral dessa função, ou seja, uma expressão
tal que
.
Passo 2
Ideia-chave (substituição): observe que a expressão dentro da raiz é
. Se definirmos
a derivada de
em relação a
é
Aqui explico por que escolhemos isso: a substituição tenta transformar a raiz numa potência simples em
e ao mesmo tempo fazer com que
apareça a partir de
. Repare que é necessário
para que
; se
então
e
seria constante (nada a derivar), então a substituição falharia.
Passo 3
Isolando
a partir de
:
Substituímos na integral original: como
, obtemos
Passo 4
Fatoramos a constante
para fora da integral:
Agora usamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Passo 5
Voltando a multiplicar pela constante externa:
Agora substituímos
de volta:
Passo 6
Verificação rápida (diferenciação) — para ficar seguro: calcule a derivada de
Usando a regra da cadeia,
Os fatores numéricos se cancelam:
logo
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Resumo didático curto: a técnica usada foi substituir a expressão dentro da raiz por
. Isso funcionou porque a derivada dessa expressão é proporcional a
, que aparece multiplicando a raiz no integrando. Depois aplicamos a regra de potência para integrar
e voltamos à variável original.