Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int x^{a}\left(\sqrt{b+c x^{a+1}}\right) d x \quad c \neq 0, a \neq-1

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int x^{a}\left(\sqrt{b+c x^{a+1}}\right)\, dx
com as condições dadas c\neq 0 e a\neq -1.
Informações relevantes fornecidas:
\text{integramos }x^{a}\cdot\sqrt{b+c x^{a+1}}\quad\text{com }c\neq 0,\; a\neq -1.
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) geral dessa função, ou seja, uma expressão F(x)+C tal que F'(x)=x^{a}\sqrt{b+c x^{a+1}}.

Passo 2

Ideia-chave (substituição): observe que a expressão dentro da raiz é b+c x^{a+1}. Se definirmos
u = b + c x^{a+1},
a derivada de u em relação a x é
\frac{du}{dx} = c(a+1)x^{a}.
Aqui explico por que escolhemos isso: a substituição tenta transformar a raiz numa potência simples em u e ao mesmo tempo fazer com que x^{a}\,dx apareça a partir de du. Repare que é necessário a\neq -1 para que a+1\neq 0; se a=-1 então x^{a+1}=x^{0}=1 e u seria constante (nada a derivar), então a substituição falharia.

Passo 3

Isolando x^{a}\,dx a partir de du:
du = c(a+1)x^{a}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{a}\,dx = \frac{du}{c(a+1)}.
Substituímos na integral original: como \sqrt{b+c x^{a+1}}=\sqrt{u}=u^{1/2}, obtemos
\int x^{a}\sqrt{b+c x^{a+1}}\,dx = \int u^{1/2}\cdot\frac{du}{c(a+1)}.

Passo 4

Fatoramos a constante 1/(c(a+1)) para fora da integral:
\int x^{a}\sqrt{b+c x^{a+1}}\,dx = \frac{1}{c(a+1)}\int u^{1/2}\,du.
Agora usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.

Passo 5

Voltando a multiplicar pela constante externa:
\frac{1}{c(a+1)}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{3c(a+1)}u^{3/2}+C.
Agora substituímos u=b+c x^{a+1} de volta:
\int x^{a}\sqrt{b+c x^{a+1}}\,dx = \frac{2}{3c(a+1)}\left(b+c x^{a+1}\right)^{3/2} + C.

Passo 6

Verificação rápida (diferenciação) — para ficar seguro: calcule a derivada de
F(x)=\frac{2}{3c(a+1)}\left(b+c x^{a+1}\right)^{3/2}.
Usando a regra da cadeia,
F'(x)=\frac{2}{3c(a+1)}\cdot\frac{3}{2}\left(b+c x^{a+1}\right)^{1/2}\cdot c(a+1)x^{a}.
Os fatores numéricos se cancelam:
\frac{2}{3c(a+1)}\cdot\frac{3}{2}\cdot c(a+1)=1,
logo
F'(x)=x^{a}\left(b+c x^{a+1}\right)^{1/2},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Resumo didático curto: a técnica usada foi substituir a expressão dentro da raiz por u. Isso funcionou porque a derivada dessa expressão é proporcional a x^{a}, que aparece multiplicando a raiz no integrando. Depois aplicamos a regra de potência para integrar u^{1/2} e voltamos à variável original.

Resposta

\frac{2}{3c(a+1)}\left(b+c x^{a+1}\right)^{3/2}+C

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