(10 pontos ) Um motor de indução trifásico de 460 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}, 4 polos, conectado em Y , tem R_{s}=0,08 \Omega, R_{r}^{\prime}=0,1 \Omega, X_{s}=0,62 \Omega, X_{r}^{\prime}=0,92 \Omega e X_{m}=6,7 \Omega. A perda sem carga é P_{\text {vazio }}=300 W. A uma velocidade do rotor de 1500 rpm determine:
a) O escorregamento;
b) A corrente de entrada;
c) Ofator de potência de entrada;
d) A potência no entreferro
1,0
e) As perdas no cobre do rotor
1,0
f) As perdas no cobre do estator
1,0
g) O torque desenvolvido
0,7
h) A eficiência;
1,0
i) A corrente de partida,
j) O torque de partida;

Passo 1

O enunciado dá um motor trifásico ligado em Y com as seguintes informações (vou listar tudo em TeX para ficar claro):
\begin{gathered} V_{\text{linha}}=460\\ \mathrm{V},\quad f=60\\ \mathrm{Hz},\quad \text{4 polos},\quad \text{ligado em Y},\\\ R_s=0{,}08\\ \Omega,\quad R_r'=0{,}1\\ \Omega,\quad X_s=0{,}62\\ \Omega,\\\ X_r'=0{,}92\\ \Omega,\quad X_m=6{,}7\\ \Omega,\quad P_{\text{vazio}}=300\\ \mathrm{W}. \end{gathered}
O que se pede (cada item numerado conforme o enunciado):
a) o escorregamento;
b) a corrente de entrada;
c) o fator de potência de entrada;
d) a potência no entreferro (potência que atravessa o entreferro, i.e. potência no ar-gap);
e) as perdas no cobre do rotor;
f) as perdas no cobre do estator;
g) o torque desenvolvido;
h) a eficiência;
i) a corrente de partida;
j) o torque de partida.
Observação: vou assumir o modelo usual do circuito equivalente por fase e tratar P_{\text{vazio}} como perdas independentes da carga (perdas no ferro + mecânicas e perdas residuais) que são subtraídas da potência mecânica desenvolvida para obter a potência de eixo. Não vou pedir nada a mais — sigo com essas informações.

Passo 2

Primeiros cálculos básicos que vamos usar em tudo (explico por que cada coisa é útil):
  • Tensão de fase (porque está ligado em Y):
V_{\varphi}=\frac{V_{\text{linha}}}{\sqrt{3}}=\frac{460}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}.
Isto é a tensão aplicada a cada fase do equivalente por fase.
  • Velocidade síncrona (em rpm) e escorregamento (definição e cálculo):
n_s=\frac{120\,f}{\text{nº polos}}=\frac{120\cdot 60}{4}=1800\\ \mathrm{rpm}.º
O escorregamento é
s=\frac{n_s-n_r}{n_s}.
Como o rotor gira a n_r=1500\\ \mathrm{rpm},
s=\frac{1800-1500}{1800}=0{,}1666667\approx 0{,}1667\\ (16{,}67\%).

Passo 3

Cálculo numérico de V_{\varphi} e resumo dos valores numéricos (uso esses números nas contas):
V_{\varphi}=\frac{460}{\sqrt{3}}\approx 265{,}660\\ \mathrm{V}.
Valores conhecidos para montar o circuito por fase:
Z_s=R_s+jX_s=0{,}08+j0{,}62\\ \Omega,\qquad jX_m=j6{,}7\\ \Omega.

Passo 4

Vou usar o método clássico com o equivalente de Thevenin visto pelo ramo do rotor (método prático para encontrar a corrente de rotor referida). Primeiro calculemos a tensão e impedância de Thevenin vistas pelo ramo do rotor (explico a ideia: abrimos o ramo do rotor, a tensão no nó entre Z_s e o paralelo jX_m é V_{th}; a impedância equivalente vista pelo rotor é Z_{th}). As fórmulas são:
V_{th}=V_{\varphi}\cdot\frac{jX_m}{Z_s+jX_m},\qquad Z_{th}=\frac{jX_m\;Z_s}{Z_s+jX_m}.
Calculemos Z_s+jX_m:
Z_s+jX_m=0{,}08+j(0{,}62+6{,}7)=0{,}08+j7{,}32.
Agora V_{th}:
V_{th}=265{,}660\cdot\frac{j6{,}7}{0{,}08+j7{,}32}\approx 243{,}25 + j2{,}66\\ \mathrm{V}.
E Z_{th}:
Z_{th}=\frac{j6{,}7(0{,}08+j0{,}62)}{0{,}08+j7{,}32}\approx 0{,}06703 + j0{,}5684\\ \Omega.
(Se quiser, faço as contas passo a passo; aqui mostrei o resultado com as contas de divisão complexa realizadas.)

Passo 5

Agora a impedância do ramo do rotor referida por fase, para um escorregamento genérico s, é
Z_r=\frac{R_r'}{s}+jX_r'.
Para o regime dado ( s=0{,}1667):
Z_r=\frac{0{,}1}{0{,}1666667}+j0{,}92=0{,}6 + j0{,}92\\ \Omega.
A impedância que alimenta o ramo do rotor é Z_{th}+Z_r:
Z_{th}+Z_r\approx (0{,}06703+0{,}6)+j(0{,}5684+0{,}92)=0{,}66703 + j1{,}4884\\ \Omega.

Passo 6

Corrente no rotor referida (por fase), usando o Teorema de Thevenin:
I_r'=\frac{V_{th}}{Z_{th}+Z_r}.
Com os números:
I_r'\approx\frac{243{,}25 + j2{,}66}{0{,}66703 + j1{,}4884}\approx 62{,}477 - j135{,}465\\ \mathrm{A},
logo
|I_r'|\approx 149{,}17\\ \mathrm{A}.
Explicação rápida: I_r' é a corrente que circula pelo ramo do rotor referido ao estator. É essa corrente que determina as perdas no rotor referidas e a potência enviada ao entreferro.

Passo 7

Corrente magnetizante (corrente em X_m), que é a corrente no ramo jX_m com a tensão V_{th}:
I_m=\frac{V_{th}}{jX_m}=\frac{243{,}25 + j2{,}66}{j6{,}7}\approx 0{,}397 - j36{,}316\\ \mathrm{A},
|I_m|\approx 36{,}319\\ \mathrm{A}.
A corrente de entrada por fase é a soma fasorial de I_m e I_r':
I_1=I_m+I_r'\approx (62{,}477+0{,}397)+j(-135{,}465-36{,}316)=62{,}874 - j171{,}781\\ \mathrm{A}.
Módulo e ângulo:
|I_1|\approx 183{,}0\\ \mathrm{A},\qquad \angle I_1\approx -70{,}0^\circ.
Isto responde o item (b) (corrente de entrada): a corrente de linha é igual à corrente de fase num Y, logo I_{\text{entrada}}\approx 183{,}0\\ \mathrm{A}.

Passo 8

Cálculo da potência de entrada total (trifásica) e fator de potência:
A potência ativa total de entrada é
P_{\text{in}}=3\operatorname{Re}(V_{\varphi} I_1^*)=3 V_{\varphi}\operatorname{Re}(I_1^*).
Como V_{\varphi} é tomado como referência (ângulo zero) e I_1=62{,}874 - j171{,}781,
P_{\text{in}}=3\cdot 265{,}660\cdot 62{,}874\approx 50\,109\\ \mathrm{W}.
Fator de potência (valor escalar, com sinal indicando atraso):
\text{pf}=\cos(\varphi)=\cos(70{,}0^\circ)\approx 0{,}344\\ \text{(atrasado)}.
(Confirmação com valores aparentes: S=\sqrt{3}V_{\text{linha}}I_{\text{linha}}\approx 145{,}730\\ \mathrm{VA}, então pf=50{,}109/145{,}730\approx 0{,}344.)

Passo 9

Potência no entreferro (potência que atravessa o entreferro, chamada também potência no ar-gap) e perdas no cobre do rotor:
A potência no entreferro por fase é a potência dissipada na resistência \dfrac{R_r'}{s} multiplicada por 3:
P_{\text{ag}}=3|I_r'|^2\frac{R_r'}{s}.
Com valores:
P_{\text{ag}}=3\cdot(149{,}17)^2\cdot 0{,}6\approx 40\,053\\ \mathrm{W}.
Perdas no cobre do rotor (perdas na resistência R_r', por fase e total):
P_{\text{rotor\\ copper}}=3|I_r'|^2 R_r' = 3\cdot(149{,}17)^2\cdot 0{,}1\approx 6\,676\\ \mathrm{W}.
Explicação: P_{\text{ag}} inclui tudo que entra no rotor (perdas no cobre do rotor + potência que será convertida em mecânica). A diferença P_{\text{ag}}-P_{\text{rotor\\ copper}} é a potência convertida em mecânica dentro do rotor.

Passo 10

Potência convertida em mecânica (potência desenvolvida no rotor) e torque desenvolvido:
Potência convertida (desenvolvida eletricamente) é
P_{\text{dev}}=P_{\text{ag}}-P_{\text{rotor\\ copper}}=3|I_r'|^2\frac{R_r'}{s}-3|I_r'|^2R_r' =3|I_r'|^2 R_r'\left(\frac{1}{s}-1\right).
Numericamente:
P_{\text{dev}}\approx 40\,053 - 6\,676\approx 33\,377{,}5\\ \mathrm{W}.
O torque eletromagnético desenvolvido (no eixo interno, antes de perdas mecânicas) é dado por
T=\frac{P_{\text{ag}}}{\omega_s}=\frac{P_{\text{dev}}}{\omega_m},
explicando: P_{\text{ag}}=T\omega_s e P_{\text{dev}}=T\omega_m, onde \omega_s é a velocidade síncrona em rad/s e \omega_m é a velocidade mecânica do eixo (rad/s). Calculando \omega_m e \omega_s:
\omega_m=2\pi\frac{n_r}{60}=2\pi\cdot 25=50\pi\approx 157{,}0796\\ \mathrm{rad/s},
\omega_s=2\pi\frac{n_s}{60}=2\pi\cdot 30=60\pi\approx 188{,}4956\\ \mathrm{rad/s}.
Usando P_{\text{dev}} para torque em regime (é mais usual dizer torque desenvolvido a partir da potência convertida a \omega_m):
T=\frac{P_{\text{dev}}}{\omega_m}\approx \frac{33\,377{,}5}{157{,}0796}\approx 212{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 11

Perdas no cobre do estator e montagem da conta de eficiência:
Perdas no cobre do estator (trifásicas) são:
P_{\text{stator\\ copper}}=3|I_1|^2 R_s =3\cdot(183{,}0)^2\cdot 0{,}08\approx 8\,037{,}4\\ \mathrm{W}.
Agora a potência efetiva no eixo (potência de saída) é a potência desenvolvida menos as perdas que são independentes da carga (mandadas como P_{\text{vazio}}, assumidas constantes):
P_{\text{out}}=P_{\text{dev}}-P_{\text{vazio}}\approx 33\,377{,}5 - 300 \approx 33\,077{,}5\\ \mathrm{W}.
Eficiência:
\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}=\frac{33\,077{,}5}{50\,109}\approx 0{,}6602\approx 66{,}02\%.
Comentário: a eficiência está baixa porque o escorregamento é relativamente alto e as perdas ôhmicas são significativas.

Passo 12

Corrente de partida e torque de partida (caso s=1). Repetimos cálculos alterando s para 1.
Para s=1 a impedância do rotor referida é
Z_r^{(s=1)}=R_r'+jX_r'=0{,}1 + j0{,}92\\ \Omega.
Então a impedância total vista pelo Thevenin é Z_{th}+Z_r^{(s=1)}\approx 0{,}06703+0{,}1 + j(0{,}5684+0{,}92)=0{,}16703 + j1{,}4884. A corrente de rotor referida no arranque é
I_r'^{(s=1)}=\frac{V_{th}}{Z_{th}+Z_r^{(s=1)}}\approx 19{,}874 - j161{,}234\\ \mathrm{A},
|I_r'^{(s=1)}|\approx 162{,}5\\ \mathrm{A}.
A corrente de entrada de partida é I_1^{(s=1)}=I_m+I_r'^{(s=1)}:
I_1^{(s=1)}\approx 20{,}271 - j197{,}55\\ \mathrm{A},
|I_1^{(s=1)}|\approx 198{,}6\\ \mathrm{A}.
Assim a corrente de partida é cerca de 199\\ \mathrm{A}.
Torque de partida: em regime de partida a velocidade do rotor é zero, a potência no entreferro é
P_{\text{ag}}^{(s=1)}=3|I_r'^{(s=1)}|^2\frac{R_r'}{1}=3\cdot(162{,}5)^2\cdot 0{,}1\approx 7\,922\\ \mathrm{W}.
O torque de partida (torque eletromagnético disponível no arranque) é
T_{\text{start}}=\frac{P_{\text{ag}}^{(s=1)}}{\omega_s}\approx\frac{7\,922}{188{,}4956}\approx 42{,}03\\ \mathrm{N\cdot m}.
Observação conceitual: em partida \omega_m=0 então a potência mecânica é nula, mas existe torque porque P_{\text{ag}}=T\omega_s relaciona torque com a potência que atravessa o entreferro.

Resposta

a) s=0{,}1667 (16,67%).
b) I_{\text{entrada}}=|I_1|\approx 183{,}0\\ \mathrm{A}.
c) \text{pf}\approx 0{,}344 (atrasado).
d) P_{\text{entreferro}}=P_{\text{ag}}\approx 40\,053\\ \mathrm{W}.
e) P_{\text{perdas rotor (cobre)}}\approx 6\,676\\ \mathrm{W}.
f) P_{\text{perdas estator (cobre)}}\approx 8\,037{,}4\\ \mathrm{W}.
g) T_{\text{desenvolvido}}\approx 212{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}.
h) \eta\approx 0{,}6602 (66,02%).
i) I_{\text{partida}}\approx 198{,}6\\ \mathrm{A}.
j) T_{\text{partida}}\approx 42{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}.

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