Calcule as seguintes integrais:
\int z \operatorname{senh}(z) d z

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int z\,\operatorname{senh}(z)\,dz.
Informações dadas: a função integranda é o produto da variável z por \operatorname{senh}(z). Observação útil que vou usar sem perguntar: \operatorname{senh}(z) é apenas a notação em português para a função hiperbólica seno; em TeX usarei \operatorname{sinh}(z). Portanto a integral é
\int z\,\operatorname{sinh}(z)\,dz.

Passo 2

Escolha do método: quando temos uma integral do tipo produto de uma função polinomial (aqui z) por uma função cujo antiderivada é simples (aqui \operatorname{sinh}(z)), o método mais direto é a integração por partes. Vou explicar esse método passo a passo.
Regra da integração por partes: para funções u(x) e v(x) suficientemente suaves vale a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos (para simplificar ao derivar) e dv é a parte restante, de forma que possamos integrar dv para obter v. Explicando as letras:
  • u é a função que vamos derivar para obter du.
  • dv é o diferencial restante, e v é uma antiderivada de dv (ou seja, v' = dv/dx).
    Na prática escolhemos u para que du fique mais simples.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: escolho
u = z \quad\text{e}\quad dv = \operatorname{sinh}(z)\,dz.
Agora calculo du e v:
  • Diferenciando u: du = dz.
  • Para obter v precisamos integrar dv: lembrando que \dfrac{d}{dz}\operatorname{cosh}(z)=\operatorname{sinh}(z), segue que
v = \operatorname{cosh}(z),
pois \int \operatorname{sinh}(z)\,dz = \operatorname{cosh}(z) + C. Vou omitir o +C temporariamente dentro do processo de partes (ele aparece no final).

Passo 4

Agora uso a fórmula da integração por partes:
\int z\,\operatorname{sinh}(z)\,dz = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int z\,\operatorname{sinh}(z)\,dz = z\operatorname{cosh}(z) - \int \operatorname{cosh}(z)\,dz.
Calculo a integral restante: como \dfrac{d}{dz}\operatorname{sinh}(z)=\operatorname{cosh}(z), temos
\int \operatorname{cosh}(z)\,dz = \operatorname{sinh}(z) + C.
Portanto
\int z\,\operatorname{sinh}(z)\,dz = z\operatorname{cosh}(z) - \operatorname{sinh}(z) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação (checagem rápida para você aprender a conferir respostas na prova): derivando o que encontramos deve voltar ao integrando. Calculo
\frac{d}{dz}\bigl(z\operatorname{cosh}(z) - \operatorname{sinh}(z)\bigr).
Usando a regra do produto em z\operatorname{cosh}(z):
\frac{d}{dz}\bigl(z\operatorname{cosh}(z)\bigr) = 1\cdot\operatorname{cosh}(z) + z\cdot\operatorname{sinh}(z).
E \dfrac{d}{dz}\operatorname{sinh}(z)=\operatorname{cosh}(z). Então
\frac{d}{dz}\bigl(z\operatorname{cosh}(z) - \operatorname{sinh}(z)\bigr) = \operatorname{cosh}(z) + z\operatorname{sinh}(z) - \operatorname{cosh}(z) = z\operatorname{sinh}(z),
que é exatamente o integrando. Tudo conferido.

Resposta

z\operatorname{cosh}(z)-\operatorname{sinh}(z)+C

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