Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é o produto da variável
por
. Observação útil que vou usar sem perguntar:
é apenas a notação em português para a função hiperbólica seno; em TeX usarei
. Portanto a integral é
Passo 2
Escolha do método: quando temos uma integral do tipo produto de uma função polinomial (aqui
) por uma função cujo antiderivada é simples (aqui
), o método mais direto é a integração por partes. Vou explicar esse método passo a passo.
Regra da integração por partes: para funções
e
suficientemente suaves vale a fórmula
Aqui
é uma função que escolhemos (para simplificar ao derivar) e
é a parte restante, de forma que possamos integrar
para obter
. Explicando as letras:
-
é a função que vamos derivar para obter . -
é o diferencial restante, e é uma antiderivada de (ou seja, ).
Na prática escolhemospara que fique mais simples.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: escolho
Agora calculo
e
:
- Diferenciando
: . - Para obter
precisamos integrar : lembrando que , segue que
pois
. Vou omitir o
temporariamente dentro do processo de partes (ele aparece no final).
Passo 4
Agora uso a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Calculo a integral restante: como
, temos
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação (checagem rápida para você aprender a conferir respostas na prova): derivando o que encontramos deve voltar ao integrando. Calculo
Usando a regra do produto em
:
E
. Então
que é exatamente o integrando. Tudo conferido.