Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral x-3x^3+3 x^2+2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x-3x^3+3x^2+2x,dx. O conteúdo aqui é integração de funções racionais via frações parciais, e vamos precisar fatorar o denominador e decompor a função em frações simples.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^3+3x^2+2x. Colocando x em evidência e resolvendo o polinômio quadrático, obtemos:
x^3+3x^2+2x = x(x^2+3x+2) = x(x+1)(x+2)

Passo 3

Com o denominador fatorado, montamos a decomposição em frações parciais do tipo:
x-3x(x+1)(x+2) = Ax + Bx+1 + Cx+2 Multiplicando ambos os lados por x(x+1)(x+2), ficamos com:
x-3 = A(x+1)(x+2) + B,x(x+2) + C,x(x+1)

Passo 4

Expandindo e agrupando termos em potências de x, temos:
A+B+C=0, 3A+2B+C=1, 2A=-3 Da última equação vem A=-tfrac32. Substituindo nas duas primeiras, obtemos B=4 e C=-tfrac52.

Passo 5

Substituindo A,B,C na decomposição, a integral fica:
integralx-3x^3+3x^2+2x,dx = integrall(-tfrac321x + 41x+1 - tfrac521x+2r)dx

Passo 6

Agora integramos termo a termo usando integraldxx+a=ln|x+a|+C. Assim,
integrall(-tfrac321xr)dx = -tfrac32ln|x|, integral41x+1dx = 4ln|x+1|, integral -tfrac521x+2dx = -tfrac52ln|x+2|

Resposta

-\tfrac32\ln|x| + 4\ln|x+1| - \tfrac52\ln|x+2| + C

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