Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
.
Matéria envolvida: Integração de funções racionais envolvendo funções trigonométricas.
O que precisamos: Aplicar técnicas de substituição para simplificar a integral e torná-la mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador
. Para simplificar a integral, vamos fazer uma substituição que envolva esse denominador.
Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Substituindo
por
:
Passo 4
Focando na segunda integral
, vamos expressar
em termos de
:
Sabemos que
, então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Portanto:
Substituindo na integral:
Passo 5
Para continuar, precisamos expressar
em termos de
. Da substituição inicial
, temos:
No entanto, isso fica complicado, então vamos reavaliar nossa abordagem. Em vez de dividir a integral inicialmente, vamos tentar simplificar a expressão inteira antes de integrar.
Passo 6
Vamos reescrever a integral original:
Podemos fatorar
no numerador:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, separamos a integral:
Vamos focar na primeira parte:
Podemos dividir isso em duas frações:
Passo 8
Já sabemos que
e
, então:
Agora, a segunda integral:
Podemos reescrever a fração:
Então:
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Resposta
A integral é igual a $ x - \frac{2}{3} \ln|1 + 3 \cos x| + C $, onde $ C $ é a constante de integração.