Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral sin x+cos ^3 x1+3 cos x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral sin x + cos^3 x1 + 3 cos x , dx.
Matéria envolvida: Integração de funções racionais envolvendo funções trigonométricas.
O que precisamos: Aplicar técnicas de substituição para simplificar a integral e torná-la mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador 1 + 3 cos x. Para simplificar a integral, vamos fazer uma substituição que envolva esse denominador.
Vamos definir:
u = 1 + 3 cos x
Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = -3 sin x Rightarrow du = -3 sin x , dx
Isso nos dá:
sin x , dx = -du3

Passo 3

Agora, substituímos u e du na integral original:
integral sin x + cos^3 x1 + 3 cos x , dx = integral sin xu , dx + integral cos^3 xu , dx
Substituindo sin x , dx por -du3:
= integral -du3u + integral cos^3 xu , dx
= -13 integral duu + integral cos^3 xu , dx

Passo 4

Focando na segunda integral integral cos^3 xu , dx, vamos expressar cos^3 x em termos de u:
Sabemos que u = 1 + 3 cos x, então:
cos x = u - 13
Elevando ambos os lados ao quadrado:
cos^2 x = ( u - 13 )^2 = (u - 1)^29
Portanto:
cos^3 x = cos x cdot cos^2 x = u - 13 cdot (u - 1)^29 = (u - 1)^327
Substituindo na integral:
integral cos^3 xu , dx = integral (u - 1)^327u , dx = 127 integral (u - 1)^3u , dx

Passo 5

Para continuar, precisamos expressar dx em termos de du. Da substituição inicial u = 1 + 3 cos x, temos:
du = -3 sin x , dx Rightarrow dx = -du3 sin x
No entanto, isso fica complicado, então vamos reavaliar nossa abordagem. Em vez de dividir a integral inicialmente, vamos tentar simplificar a expressão inteira antes de integrar.

Passo 6

Vamos reescrever a integral original:
integral sin x + cos^3 x1 + 3 cos x , dx
Podemos fatorar cos x no numerador:
= integral sin x + cos x cdot cos^2 x1 + 3 cos x , dx
Sabemos que cos^2 x = 1 - sin^2 x, então:
= integral sin x + cos x (1 - sin^2 x)1 + 3 cos x , dx
= integral sin x + cos x - cos x sin^2 x1 + 3 cos x , dx

Passo 7

Agora, separamos a integral:
= integral sin x + cos x1 + 3 cos x , dx - integral cos x sin^2 x1 + 3 cos x , dx
Vamos focar na primeira parte:
integral sin x + cos x1 + 3 cos x , dx
Podemos dividir isso em duas frações:
= integral sin x1 + 3 cos x , dx + integral cos x1 + 3 cos x , dx

Passo 8

Já sabemos que u = 1 + 3 cos x e du = -3 sin x , dx, então:
integral sin x1 + 3 cos x , dx = -13 integral duu = -13 ln|u| + C = -13 ln|1 + 3 cos x| + C
Agora, a segunda integral:
integral cos x1 + 3 cos x , dx
Podemos reescrever a fração:
cos x1 + 3 cos x = 1 + 3 cos x - 11 + 3 cos x = 1 - 11 + 3 cos x
Então:
integral cos x1 + 3 cos x , dx = integral 1 , dx - integral 11 + 3 cos x , dx = x - 13 integral duu = x - 13 ln|1 + 3 cos x| + C

Passo 9

Agora, juntando tudo:
integral sin x + cos^3 x1 + 3 cos x , dx = -13 ln|1 + 3 cos x| + x - 13 ln|1 + 3 cos x| + C
= x - 23 ln|1 + 3 cos x| + C

Resposta

A integral é igual a $ x - \frac{2}{3} \ln|1 + 3 \cos x| + C $, onde $ C $ é a constante de integração.
x - 23 ln|1 + 3 cos x| + C

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