\int \frac{1}{1+\cos ^{2} x} d x.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\int \frac{1}{1+\cos^2 x}\,dx.
Para resolver, vamos usar a substituição trigonométrica t=\tan x, que transforma funções de \cos em funções de t e leva a uma integral padrão do tipo \int \frac{dt}{t^2+a^2}.

Passo 2

Fazendo t=\tan x, temos
dt = \operatorname{sec}^2 x\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{dt}{1+t^2}.
Além disso,
\cos^2 x = \frac{1}{\operatorname{sec}^2 x} = \frac{1}{1+t^2},
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1+\cos^2 x = 1 + \frac{1}{1+t^2} = \frac{t^2+2}{1+t^2}.
Substituindo tudo na integral,
\int \frac{1}{1+\cos^2 x}\,dx = \int \frac{1}{\frac{t^2+2}{1+t^2}}\;\frac{dt}{1+t^2} = \int \frac{1+t^2}{t^2+2}\;\frac{dt}{1+t^2} = \int \frac{dt}{t^2+2}.

Passo 3

A integral
\int \frac{dt}{t^2+2}
é do tipo \int \frac{dt}{t^2+a^2} com a=\sqrt{2}. Sabemos que
\int \frac{dt}{t^2+a^2} = \frac{1}{a}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{a}\bigr) + C.
Aplicando a=\sqrt{2}, obtemos
\int \frac{dt}{t^2+2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\;\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr) + C.

Passo 4

Voltando à variável original x por meio de t=\tan x, a primitiva da integral inicial fica
\frac{1}{\sqrt{2}}\;\arctan\!\Bigl(\tfrac{\tan x}{\sqrt{2}}\Bigr) + C.

Resposta

\int \frac{1}{1+\cos^2 x}\,dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\;\arctan\!\Bigl(\tfrac{\tan x}{\sqrt{2}}\Bigr) + C.

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