Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}+x-1}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}+x-1}}\,dx
usando o método de substituição de variável. Vamos assumir x>0 para evitar questões de sinal em \sqrt{x^{2}+x-1}.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em função de t = \tfrac1x. Note que
\sqrt{x^{2}+x-1} = x\,\sqrt{1+\frac1x-\frac1{x^{2}}}
e
dx = -\frac{1}{t^{2}}\,dt, \quad \frac{dx}{x^{2}} = -\,dt.
Logo
\frac{1}{x\sqrt{x^{2}+x-1}}\,dx = \frac{1}{x\bigl(x\sqrt{1+1/x-1/x^{2}}\bigr)}\,dx = \frac{1}{x^{2}\sqrt{1+t - t^{2}}}\,dx = -\frac{dt}{\sqrt{1+t - t^{2}}}.

Passo 3

No integrando apareceu
-\int \frac{dt}{\sqrt{1+t-t^{2}}} =-\int \frac{dt}{\sqrt{\tfrac54 -\bigl(t-\tfrac12\bigr)^{2}}}.
Fizemos a completação de quadrado
1+t-t^{2} = -\bigl(t-\tfrac12\bigr)^{2} + \tfrac54.

Passo 4

Para usar a forma padrão \displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=\arcsin\!\bigl(u/a\bigr), fazemos
u = \frac{t-\tfrac12}{\tfrac{\sqrt5}{2}}, \quad du = \frac{2}{\sqrt5}\,dt.
Então
-\int \frac{dt}{\sqrt{\tfrac54 - (t-\tfrac12)^{2}}} = -\int \frac{\tfrac{\sqrt5}{2}\,du}{\sqrt{\tfrac54 - \bigl(\tfrac{\sqrt5}{2}u\bigr)^{2}}} = -\frac{2}{\sqrt5}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = -\frac{2}{\sqrt5}\,\arcsin(u) + C.

Passo 5

Voltando a u e a t:
u = \frac{t-\tfrac12}{\tfrac{\sqrt5}{2}} = \frac{2t-1}{\sqrt5}, \quad t=\frac1x.
Logo a primitiva fica
-\frac{2}{\sqrt5}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{2/x-1}{\sqrt5}\Bigr)+C.
Podemos usar \arcsin(-z)=-\arcsin(z) para obter forma equivalente:
\frac{2}{\sqrt5}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{x-2}{\sqrt5\,x}\Bigr)+C.

Resposta

\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}+x-1}}\,dx = -\frac{2}{\sqrt5}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{2/x-1}{\sqrt5}\Bigr)+C \;\equiv\; \frac{2}{\sqrt5}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{x-2}{\sqrt5\,x}\Bigr)+C.

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