Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
integral raiz1+x1-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral raiztfrac1+x1-x,dx usando o método da substituição de variável.

Passo 2

Para eliminar a raiz, definimos t = raiztfrac1+x1-x. Isso facilita porque então temos
t^2 = 1+x1-x Longrightarrow t^2(1-x)=1+x ;Rightarrow; x=t^2-1t^2+1
Derivando, encontramos
dx = 4t(t^2+1)^2,dt

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral raiz1+x1-x,dx = integral t cdot 4t(t^2+1)^2,dt = integral 4t^2(t^2+1)^2,dt
Repare que
4t^2(t^2+1)^2 = 4l(1t^2+1 - 1(t^2+1)^2r)

Passo 4

Agora integramos cada parte usando resultados padrão:
integral 1t^2+1,dt = arctan t,
integral 1(t^2+1)^2,dt = t2(t^2+1) + 12arctan t
Logo
integral 4t^2(t^2+1)^2,dt = 4l(arctan t - l[tfract2(t^2+1) + tfrac12arctan tr]r) = 2arctan t - 2tt^2+1 + C

Passo 5

Voltando à variável x, temos
t^2+1 = 21-x,
então
2tt^2+1 = 2t,(1-x)2 = t(1-x) = raiz1-x^2
Substituindo em
2arctan t - 2tt^2+1 + C
vem
2arctan!l(raiztfrac1+x1-xr) - raiz1-x^2 + C

Passo 6

Para simplificar, use a identidade
2arctan!l(raiztfrac1+x1-xr) = pi2 + arcsin x,
absorvendo tfracpi2 em uma constante qualquer, obtemos a forma mais compacta:
arcsin x - raiz1-x^2 + C

Resposta

arcsin x - raiz1-x^2 + C

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