Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
integral e^2 x-1e^2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^2x-1e^2x+1,dx usando o método da substituição de variável. Vamos usar conceitos de substituição e decomposição em frações parciais para resolver.

Passo 2

Primeiro escolhemos a substituição t = e^x. Assim, temos dt = e^x,dx, ou seja, dx = dtt.
Reescrevendo e^2x = (e^x)^2 = t^2, a integral fica:
integral t^2 - 1t^2 + 1 cdot dtt = integral t^2 - 1t,(t^2 + 1),dt
Agora fazemos a decomposição em frações parciais:
t^2 - 1t(t^2 + 1) = At + Bt + Ct^2 + 1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por t(t^2+1) e igualando coeficientes, obtemos o sistema:
A + B = 1,
C = 0,
A = -1.
Logo A = -1, B = 2, C = 0.

Passo 4

Substituindo de volta, a integral vira:
integral l(-1t + 2tt^2+1r)dt = -integral dtt + 2integral tt^2+1,dt = -ln|t| + ln(t^2+1) + C
Finalmente, voltando à variável original t = e^x, temos:
ln(e^2x+1) - x + C

Resposta

ln(e^2x+1) - x + C

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