Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto I apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em I.
y^prime prime+2 y^prime+2 y=0, Phi(x)=e^-x(A cos (x)+B sen(x)).

Passo 1

No enunciado temos uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y'' + 2y' + 2y = 0 e a função proposta Phi(x) = e^-x(Acos x + Bsin x). Para resolver precisamos de derivadas e da substituição na EDO. Como exponencial, cosseno e seno são C^infty, a função é válida em qualquer intervalo aberto de R.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra do produto. Temos
Phi'(x) = e^-x(-Asin x + Bcos x) + (-e^-x)(Acos x + Bsin x)
que se reorganiza em
Phi'(x) = e^-xl((B-A)cos x - (A+B)sin xr)

Passo 3

Calculamos a segunda derivada aplicando novamente a regra do produto a Phi'(x). O resultado simplificado é
Phi''(x) = e^-xl(2Asin x - 2Bcos xr)

Passo 4

Substituímos Phi(x), Phi'(x) e Phi''(x) na EDO: somando Phi'' + 2Phi' + 2Phi e fatorando e^-x mostra-se que todos os coeficientes de cos x e sin x cancelam, resultando em zero.

Passo 5

Como a identidade vale para todo xinR, concluímos que Phi(x) é solução da EDO em qualquer intervalo aberto de R.

Resposta

Podemos escolher I = R.

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