Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(4 pontos)
(4 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A integranda é a soma de quatro termos:
, , e . - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que seja a integranda, mais a constante de integração .
Passo 2
Usamos a propriedade de linearidade da integral, que diz que a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
Aplicando isso ao nosso caso:
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 3
Calcular
.
Lembrete básico: a derivada de
é
, ou seja,
Portanto, uma primitiva de
é
, pois derivando
obtemos
. Logo:
Passo 4
Calcular
.
Lembrete básico: a derivada de
é
, ou seja,
Logo uma primitiva de
é
. Portanto:
Passo 5
Calcular
.
Usamos a regra do poder para integrais (power rule): para
,
Aqui
, então
Passo 6
Calcular
.
Integração de constante: se
é constante então
. Assim,
Passo 7
Somando todas as primitivas obtidas e acrescentando a constante de integração
, temos:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando a resposta obtemos
que é exatamente a integranda, então a primitiva está correta.