Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(4 pontos) \int\left(\operatorname{sen} x+\operatorname{sec} x \operatorname{tg} x+x^{3}+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\operatorname{sen} x+\operatorname{sec} x \operatorname{tg} x+x^{3}+3\right)\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A integranda é a soma de quatro termos: \operatorname{sen} x, \operatorname{sec} x\operatorname{tg} x, x^{3} e 3.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) seja a integranda, mais a constante de integração C.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral, que diz que a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
\int\big(f(x)+g(x)+h(x)+k(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx+\int k(x)\,dx.
Aplicando isso ao nosso caso:
\int\left(\operatorname{sen} x+\operatorname{sec} x \operatorname{tg} x+x^{3}+3\right)\,dx = \int\operatorname{sen} x\,dx+\int\operatorname{sec} x\operatorname{tg} x\,dx+\int x^{3}\,dx+\int 3\,dx.
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 3

Calcular \displaystyle\int \operatorname{sen} x\,dx.
Lembrete básico: a derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x, ou seja,
\frac{d}{dx}\cos x = -\operatorname{sen} x.
Portanto, uma primitiva de \operatorname{sen} x é -\cos x, pois derivando -\cos x obtemos \operatorname{sen} x. Logo:
\int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x.

Passo 4

Calcular \displaystyle\int \operatorname{sec} x\,\operatorname{tg} x\,dx.
Lembrete básico: a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\operatorname{tg} x, ou seja,
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = \operatorname{sec} x\operatorname{tg} x.
Logo uma primitiva de \operatorname{sec} x\operatorname{tg} x é \operatorname{sec} x. Portanto:
\int \operatorname{sec} x\,\operatorname{tg} x\,dx = \operatorname{sec} x.

Passo 5

Calcular \displaystyle\int x^{3}\,dx.
Usamos a regra do poder para integrais (power rule): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=3, então
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.

Passo 6

Calcular \displaystyle\int 3\,dx.
Integração de constante: se a é constante então \int a\,dx = a x + C. Assim,
\int 3\,dx = 3x.

Passo 7

Somando todas as primitivas obtidas e acrescentando a constante de integração C, temos:
\int\left(\operatorname{sen} x+\operatorname{sec} x \operatorname{tg} x+x^{3}+3\right)\,dx = -\cos x + \operatorname{sec} x + \frac{x^{4}}{4} + 3x + C.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\Big(-\cos x + \operatorname{sec} x + \frac{x^{4}}{4} + 3x + C\Big) = \operatorname{sen} x + \operatorname{sec} x\operatorname{tg} x + x^{3} + 3,
que é exatamente a integranda, então a primitiva está correta.

Resposta

-\cos x+\operatorname{sec} x+\dfrac{x^{4}}{4}+3x+C

Exercícios relacionados