Questão 3

Considere o sistema não linear
\left\{\begin{array}{l} d x / d t=x(2-x-y) \\\ d y / d t=y(-1+x) \end{array}\right.
(a) Encontre os pontos críticos.
(b) Para cada ponto crítico, encontre o sistema linearizado correspondente. Calcule autovalores e autovetores; classifique cada ponto crítico quanto ao tipo e estabilidade (do sistema linear e do sistema não linear).
(c) Esboce as trajetórias em uma vizinhança de cada ponto crítico.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\left\{\begin{array}{l} \dot{x}=x(2-x-y)\\[4pt] \dot{y}=y(-1+x) \end{array}\right.
e pede três coisas:
  1. Encontrar os pontos críticos (equilíbrios) do sistema.
  2. Para cada ponto crítico, obter o sistema linearizado (matriz Jacobiana avaliada no ponto), calcular autovalores e autovetores, e classificar cada ponto quanto ao tipo e estabilidade — tanto do sistema linear quanto do sistema não linear.
  3. Esboçar as trajetórias numa vizinhança de cada ponto crítico (ou seja, descrever qualitativamente o que as soluções fazem perto de cada equilíbrio).
As informações relevantes dadas são apenas as equações do sistema acima. Não há figuras adicionais. A partir disso vamos proceder passo a passo.]

Passo 2

Como achar os pontos críticos (equilíbrios).
Um ponto (x,y) é crítico se \dot{x}=0 e \dot{y}=0 simultaneamente. Escrevemos as equações de nulidade:
\dot{x}=x(2-x-y)=0
\dot{y}=y(-1+x)=0.
Cada produto sendo zero nos dá alternativas; vamos listar sistematicamente.

Passo 3

Resolver as alternativas da equação \dot{x}=0:
  • Ou \;x=0, ou \;2-x-y=0.
Resolver as alternativas da equação \dot{y}=0:
  • Ou \;y=0, ou \;x=1.
Agora combinamos as possibilidades.

Passo 4

Combinações possíveis:
  • Se \;x=0 e \;y=0 então temos o ponto (0,0).
  • Se \;x=0 e \;x=1 impossível simultaneamente, descartamos.
  • Se \;y=0 e \;2-x-y=0 então y=0 e 2-x=0 => x=2, ponto (2,0).
  • Se \;x=1 e \;2-x-y=0 então 1 e 2-1-y=0 => y=1, ponto (1,1).
Portanto os pontos críticos são (0,0), (2,0) e (1,1).

Passo 5

Para linearizar precisamos da matriz Jacobiana J(x,y). Primeiro escrevemos as componentes das funções e calculamos as derivadas parciais. Defina
f(x,y)=x(2-x-y)=2x-x^2-xy,
g(x,y)=y(-1+x)=-y+xy.
As derivadas parciais são:
\frac{\partial f}{\partial x}=2-2x-y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-x,
\frac{\partial g}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=-1+x.
Logo a Jacobiana é
J(x,y)=\begin{pmatrix} 2-2x-y & -x\\[4pt] y & -1+x \end{pmatrix}.]

Passo 6

Avaliar J em cada ponto crítico para obter o sistema linearizado.
No ponto (0,0):
J(0,0)=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
No ponto (2,0):
J(2,0)=\begin{pmatrix}2-4-0 & -2\\[4pt]0 & -1+2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
No ponto (1,1):
J(1,1)=\begin{pmatrix}2-2-1 & -1\\[4pt]1 & -1+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Essas são as matrizes dos sistemas linearizados \dot{u}=J(x^*,y^*)u em torno dos equilíbrios.]

Passo 7

Calcular autovalores e autovetores de J(0,0)=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&-1\end{pmatrix}.
Como a matriz é diagonal, os autovalores são \lambda_1=2 e \lambda_2=-1.
Autovetor associado a \lambda_1=2: resolver (J-2I)v=0 v=(1,0)^T.
Autovetor associado a \lambda_2=-1: resolver (J+I)v=0 v=(0,1)^T.
Interpretação: um autovalor positivo ( \lambda_1=2) e um autovalor negativo ( \lambda_2=-1) indicam que a origem é um ponto do tipo sela (saddle). No sistema linear, é instável (trajetórias são atraídas ao longo da direção do autovalor negativo e repulsas ao longo da direção do autovalor positivo).

Passo 8

Calcular autovalores e autovetores de J(2,0)=\begin{pmatrix}-2&-2\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
Por ser triangular, os autovalores são as entradas diagonais: \lambda_1=-2 e \lambda_2=1.
Para \lambda_1=-2: resolver (J+2I)v=0. A primeira linha fica 0\cdot v_1 -2 v_2=0 então v_2=0. Tomando v_1=1 obtemos o autovetor v^{(-2)}=(1,0)^T.
Para \lambda_2=1: resolver (J-I)v=0. A primeira linha dá -3 v_1 -2 v_2=0 => v_1=-\tfrac{2}{3}v_2. Tomando v_2=3 temos v^{(1)}=(-2,3)^T (qualquer múltiplo serve).
Interpretação: novamente autovalores de sinais opostos ( -2 e 1) => sela (saddle), instável. No linearizado existe um espaço estável (direção associada a \lambda=-2, aqui aproximadamente a direção horizontal) e um espaço instável (direção associada a \lambda=1, dada por (-2,3)^T).]

Passo 9

Calcular autovalores e autovetores de J(1,1)=\begin{pmatrix}-1&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Determinante característico:
\det(J-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -1\\[4pt]1 & -\lambda\end{pmatrix} =(-1-\lambda)(-\lambda)-(-1)(1)=\lambda(1+\lambda)+1=\lambda^2+\lambda+1.
Resolvendo \lambda^2+\lambda+1=0 obtemos
\lambda=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.
Os autovalores são complexos conjugados com parte real -\tfrac{1}{2}<0. Portanto linearmente o ponto é um foco (espiral) estável — as soluções em torno dele giram e aproximam-se do ponto quando t\to+\infty.
Um autovetor complexo associado a \lambda=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2} pode ser encontrado resolvendo (J-\lambda I)v=0; por exemplo, tomando v_2=1 obtemos
v_1=\frac{1-i\sqrt{3}}{2},
ou seja v=\big(\tfrac{1-i\sqrt{3}}{2},\,1\big)^T. Na prática, para esboçar a trajetória real usamos as partes real e imaginária desse autovetor para obter as direções das órbitas; não é necessário escrever o autovetor complexo explicitamente para classificar o ponto.]

Passo 10

Classificação final (sistema linearizado) e implicação para o sistema não linear.
Critério geral usado: se todos os autovalores do Jacobiano em um equilíbrio têm parte real não-nula (equilíbrio hiperbólico), então a forma qualitativa do sistema linearizado (tipo e estabilidade) se preserva no sistema não linear localmente (teorema de Hartman–Grobman). Assim podemos transferir as conclusões do linear para o não linear em cada ponto, porque em todos os três equilíbrios nenhum autovalor tem parte real zero.
Aplicando:
  • Em (0,0): autovalores 2 e -1 (sinais opostos) ⇒ sela (saddle), instável. Portanto o equilíbrio do sistema não linear também é uma sela instável.
  • Em (2,0): autovalores -2 e 1 (sinais opostos) ⇒ sela (saddle), instável. Assim o equilíbrio não linear também é uma sela instável.
  • Em (1,1): autovalores \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2} com parte real negativa ⇒ foco assintoticamente estável (espiral estável). Logo o equilíbrio não linear é localmente assintoticamente estável e as órbitas espiralam para (1,1) quando t\to+\infty.

Passo 11

Explicação de como esboçar as trajetórias perto de cada equilíbrio (orientação prática — “como desenhar na prova”):
Regra prática: para pontos hiperbólicos, use autovalores e autovetores do Jacobiano.
  • Para uma sela: desenhe a direção do autovetor associado ao autovalor negativo (varas estáveis) como a variedade estável — as trajetórias tendem ao ponto ao longo dessa direção (setas apontando para o equilíbrio). Desenhe a direção do autovetor associado ao autovalor positivo como a variedade instável — as trajetórias saem do ponto ao longo dessa direção (setas apontando para fora). Em muitas linhas iniciais, as soluções aproximam-se seguindo a estável e depois são ejetadas pela instável. No caso de autovetores ortogonais como em (0,0), a ordem é bem simples: eixo x é instável, eixo y é estável.
  • Para um foco (espiral estável): as trajetórias giram em torno do ponto e se aproximam exponencialmente, com sentido de rotação determinado pelo sinal das componentes da Jacobiana. Para determinar o sentido (horário ou anti-horário), avalie \dot{y} quando estiver ligeiramente à direita do equilíbrio ou examine a componente de rotação do Jacobiano. No nosso caso em (1,1), uma pequena perturbação na direção positiva do eixo x produz (\dot{x},\dot{y}) com \dot{x}<0 e \dot{y}>0, então a rotação é anti-horária (contra-horário).

Passo 12

Descrição concreta das trajetórias em torno de cada ponto (resumo para desenhar):
  • Em (0,0): autovetores (1,0) para \lambda=2 (instável) e (0,1) para \lambda=-1 (estável). Portanto desenhe:
    • Uma variedade estável ao longo do eixo y com setas apontando para (0,0).
    • Uma variedade instável ao longo do eixo x com setas saindo de (0,0).
    • Trajetórias genéricas aproximam-se ao longo do eixo y para t\to+\infty no passado e, ao escapar pelo eixo x, vão para longe no futuro — característica típica de sela.
  • Em (2,0): autovetor estável (1,0) (para \lambda=-2) e autovetor instável (-2,3) (para \lambda=1). Desenhe:
    • Variedade estável aproximadamente horizontal passando por (2,0), com setas apontando para (2,0).
    • Variedade instável na direção dada por (-2,3) (uma linha que sobe à esquerda), com setas saindo de (2,0).
    • Trajetórias próximas seguem aproximações lineares dadas por essas direções.
  • Em (1,1): foco assintoticamente estável com rotação anti-horária. Desenhe várias espirais concêntricas indo enrolando e aproximando-se de (1,1) no sentido anti-horário.

Passo 13

Observações finais e palavras de incentivo (curta e prática para prova):
  • Para cada equilíbrio: calcule o Jacobiano, avalie no ponto, encontre traços/determinantes ou resolva o polinômio característico para achar autovalores. Use sinais das partes reais para classificar estabilidade e sinais dos autovalores reais para identificar nós ou selas. Quando aparecerem autovalores complexos com parte real não nula, temos um foco (espiral); parte real negativa → estável, positiva → instável.
  • Se todos os autovalores têm parte real não-nula (caso hiperbólico), a informação do linearizado se transfere para o sistema não linear localmente (Hartman–Grobman). Isso economiza trabalho na prova.
  • Respira fundo: você já aprendeu o processo passo a passo — Jacobiana, autovalores, autovetores, classificação, esboço. Na prova, aplique este roteiro e vai tranquilo!

Resposta

Pontos críticos: (0,0),\\ (2,0),\\ (1,1).
Linearização em (0,0):
J(0,0)=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix},
autovalores \lambda_1=2 (autovetor (1,0)^T), \lambda_2=-1 (autovetor (0,1)^T); tipo: sela (saddle), instável. O equilíbrio do sistema não linear é também uma sela instável.
Linearização em (2,0):
J(2,0)=\begin{pmatrix}-2&-2\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
autovalores \lambda_1=-2 (autovetor (1,0)^T), \lambda_2=1 (autovetor (-2,3)^T); tipo: sela (saddle), instável. O equilíbrio do sistema não linear é também uma sela instável.
Linearização em (1,1):
J(1,1)=\begin{pmatrix}-1&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix},
autovalores \lambda=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2} (parte real -\tfrac{1}{2}<0); tipo: foco (espiral) assintoticamente estável (foco estável, rotação anti-horária). O equilíbrio do sistema não linear é localmente assintoticamente estável (espiral atraente).]

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