Questão 3
Considere o sistema não linear
(a) Encontre os pontos críticos.
(b) Para cada ponto crítico, encontre o sistema linearizado correspondente. Calcule autovalores e autovetores; classifique cada ponto crítico quanto ao tipo e estabilidade (do sistema linear e do sistema não linear).
(c) Esboce as trajetórias em uma vizinhança de cada ponto crítico.
(b) Para cada ponto crítico, encontre o sistema linearizado correspondente. Calcule autovalores e autovetores; classifique cada ponto crítico quanto ao tipo e estabilidade (do sistema linear e do sistema não linear).
(c) Esboce as trajetórias em uma vizinhança de cada ponto crítico.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede três coisas:
- Encontrar os pontos críticos (equilíbrios) do sistema.
- Para cada ponto crítico, obter o sistema linearizado (matriz Jacobiana avaliada no ponto), calcular autovalores e autovetores, e classificar cada ponto quanto ao tipo e estabilidade — tanto do sistema linear quanto do sistema não linear.
- Esboçar as trajetórias numa vizinhança de cada ponto crítico (ou seja, descrever qualitativamente o que as soluções fazem perto de cada equilíbrio).
As informações relevantes dadas são apenas as equações do sistema acima. Não há figuras adicionais. A partir disso vamos proceder passo a passo.]
Passo 2
Como achar os pontos críticos (equilíbrios).
Um ponto é crítico se
e
simultaneamente. Escrevemos as equações de nulidade:
Um ponto
Cada produto sendo zero nos dá alternativas; vamos listar sistematicamente.
Passo 3
Resolver as alternativas da equação
:
- Ou
, ou .
Resolver as alternativas da equação
:
- Ou
, ou .
Agora combinamos as possibilidades.
Passo 4
Combinações possíveis:
- Se
e então temos o ponto . - Se
e impossível simultaneamente, descartamos. - Se
e então e => , ponto . - Se
e então e => , ponto .
Portanto os pontos críticos são
,
e
.
Passo 5
Para linearizar precisamos da matriz Jacobiana
. Primeiro escrevemos as componentes das funções e calculamos as derivadas parciais. Defina
As derivadas parciais são:
Logo a Jacobiana é
Passo 6
Avaliar
em cada ponto crítico para obter o sistema linearizado.
No ponto
:
No ponto
:
No ponto
:
Essas são as matrizes dos sistemas linearizados
em torno dos equilíbrios.]
Passo 7
Calcular autovalores e autovetores de
.
Como a matriz é diagonal, os autovalores são
e
.
Autovetor associado a : resolver
dá
.
Autovetor associado a : resolver
dá
.
Autovetor associado a
Autovetor associado a
Interpretação: um autovalor positivo (
) e um autovalor negativo (
) indicam que a origem é um ponto do tipo sela (saddle). No sistema linear, é instável (trajetórias são atraídas ao longo da direção do autovalor negativo e repulsas ao longo da direção do autovalor positivo).
Passo 8
Calcular autovalores e autovetores de
.
Por ser triangular, os autovalores são as entradas diagonais:
e
.
Para
: resolver
. A primeira linha fica
então
. Tomando
obtemos o autovetor
.
Para
: resolver
. A primeira linha dá
=>
. Tomando
temos
(qualquer múltiplo serve).
Interpretação: novamente autovalores de sinais opostos (
e
) => sela (saddle), instável. No linearizado existe um espaço estável (direção associada a
, aqui aproximadamente a direção horizontal) e um espaço instável (direção associada a
, dada por
).]
Passo 9
Calcular autovalores e autovetores de
.
Determinante característico:
Resolvendo
obtemos
Os autovalores são complexos conjugados com parte real
. Portanto linearmente o ponto é um foco (espiral) estável — as soluções em torno dele giram e aproximam-se do ponto quando
.
Um autovetor complexo associado a
pode ser encontrado resolvendo
; por exemplo, tomando
obtemos
ou seja
. Na prática, para esboçar a trajetória real usamos as partes real e imaginária desse autovetor para obter as direções das órbitas; não é necessário escrever o autovetor complexo explicitamente para classificar o ponto.]
Passo 10
Classificação final (sistema linearizado) e implicação para o sistema não linear.
Critério geral usado: se todos os autovalores do Jacobiano em um equilíbrio têm parte real não-nula (equilíbrio hiperbólico), então a forma qualitativa do sistema linearizado (tipo e estabilidade) se preserva no sistema não linear localmente (teorema de Hartman–Grobman). Assim podemos transferir as conclusões do linear para o não linear em cada ponto, porque em todos os três equilíbrios nenhum autovalor tem parte real zero.
Aplicando:
- Em
: autovalores e (sinais opostos) ⇒ sela (saddle), instável. Portanto o equilíbrio do sistema não linear também é uma sela instável. - Em
: autovalores e (sinais opostos) ⇒ sela (saddle), instável. Assim o equilíbrio não linear também é uma sela instável. - Em
: autovalores com parte real negativa ⇒ foco assintoticamente estável (espiral estável). Logo o equilíbrio não linear é localmente assintoticamente estável e as órbitas espiralam para quando .
Passo 11
Explicação de como esboçar as trajetórias perto de cada equilíbrio (orientação prática — “como desenhar na prova”):
Regra prática: para pontos hiperbólicos, use autovalores e autovetores do Jacobiano.
- Para uma sela: desenhe a direção do autovetor associado ao autovalor negativo (varas estáveis) como a variedade estável — as trajetórias tendem ao ponto ao longo dessa direção (setas apontando para o equilíbrio). Desenhe a direção do autovetor associado ao autovalor positivo como a variedade instável — as trajetórias saem do ponto ao longo dessa direção (setas apontando para fora). Em muitas linhas iniciais, as soluções aproximam-se seguindo a estável e depois são ejetadas pela instável. No caso de autovetores ortogonais como em
, a ordem é bem simples: eixo é instável, eixo é estável. - Para um foco (espiral estável): as trajetórias giram em torno do ponto e se aproximam exponencialmente, com sentido de rotação determinado pelo sinal das componentes da Jacobiana. Para determinar o sentido (horário ou anti-horário), avalie
quando estiver ligeiramente à direita do equilíbrio ou examine a componente de rotação do Jacobiano. No nosso caso em , uma pequena perturbação na direção positiva do eixo produz com e , então a rotação é anti-horária (contra-horário).
Passo 12
Descrição concreta das trajetórias em torno de cada ponto (resumo para desenhar):
-
Em
: autovetores para (instável) e para (estável). Portanto desenhe: - Uma variedade estável ao longo do eixo
com setas apontando para . - Uma variedade instável ao longo do eixo
com setas saindo de . - Trajetórias genéricas aproximam-se ao longo do eixo
para no passado e, ao escapar pelo eixo , vão para longe no futuro — característica típica de sela.
- Uma variedade estável ao longo do eixo
-
Em
: autovetor estável (para ) e autovetor instável (para ). Desenhe: - Variedade estável aproximadamente horizontal passando por
, com setas apontando para . - Variedade instável na direção dada por
(uma linha que sobe à esquerda), com setas saindo de . - Trajetórias próximas seguem aproximações lineares dadas por essas direções.
- Variedade estável aproximadamente horizontal passando por
-
Em
: foco assintoticamente estável com rotação anti-horária. Desenhe várias espirais concêntricas indo enrolando e aproximando-se de no sentido anti-horário.
Passo 13
Observações finais e palavras de incentivo (curta e prática para prova):
- Para cada equilíbrio: calcule o Jacobiano, avalie no ponto, encontre traços/determinantes ou resolva o polinômio característico para achar autovalores. Use sinais das partes reais para classificar estabilidade e sinais dos autovalores reais para identificar nós ou selas. Quando aparecerem autovalores complexos com parte real não nula, temos um foco (espiral); parte real negativa → estável, positiva → instável.
- Se todos os autovalores têm parte real não-nula (caso hiperbólico), a informação do linearizado se transfere para o sistema não linear localmente (Hartman–Grobman). Isso economiza trabalho na prova.
- Respira fundo: você já aprendeu o processo passo a passo — Jacobiana, autovalores, autovetores, classificação, esboço. Na prova, aplique este roteiro e vai tranquilo!
Resposta
Pontos críticos:
.
Linearização em
:
autovalores
(autovetor
),
(autovetor
); tipo: sela (saddle), instável. O equilíbrio do sistema não linear é também uma sela instável.
Linearização em
:
autovalores
(autovetor
),
(autovetor
); tipo: sela (saddle), instável. O equilíbrio do sistema não linear é também uma sela instável.
Linearização em
:
autovalores
(parte real
); tipo: foco (espiral) assintoticamente estável (foco estável, rotação anti-horária). O equilíbrio do sistema não linear é localmente assintoticamente estável (espiral atraente).]