Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(5 pontos ) \int \frac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x}\,dx.
Informações dadas relevantes: o integrando é a função racional \dfrac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x}, ou seja, um quociente de polinômios. A variável de integração é x. A resposta deve ser uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais uma constante arbitrária C.

Passo 2

Primeiro passo do cálculo: manipular a expressão para torná-la mais simples de integrar. Observamos o denominador x^{3}+x; podemos fatorá-lo por fator comum. Explico esse procedimento: fatorar por elemento comum significa escrever um polinômio como produto de um fator que aparece em todos os termos e outro polinômio restante. Aqui, ambos os termos têm fator x. Assim,
x^{3}+x = x\,(x^{2}+1).
Isso transforma o integrando em uma função racional cujo denominador tem um fator linear \,x\, e um fator quadrático irreduzível \,x^{2}+1\,. Para integrar funções racionais assim, uma técnica muito útil é a decomposição em frações parciais: representar a fração como soma de frações mais simples cuja integração é direta.

Passo 3

Proponho a decomposição em frações parciais no formato apropriado para um fator linear e um quadrático irreduzível:
\frac{-x^{2}+x+1}{x\,(x^{2}+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A, B e C são constantes reais que vamos determinar. Agora multiplicamos ambos os lados por x(x^{2}+1) para obter uma identidade de polinômios:
-x^{2}+x+1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)x.
Vou desenvolver o lado direito e agrupar termos semelhantes.

Passo 4

Expandindo o lado direito:
A(x^{2}+1) + (Bx+C)x = A x^{2} + A + B x^{2} + C x = (A+B)x^{2} + C x + A.
Como essa igualdade vale para todo x\), os coeficientes dos mesmos graus de \(x\) devem coincidir entre os dois lados. Comparando coeficientes entre \[-x^{2}+x+1 \quad\text{e}\quad (A+B)x^{2} + C x + A,
obtemos o sistema linear
\begin{cases} A + B = -1 &\text{(coeficiente de } x^{2}),\\[4pt] C = 1 &\text{(coeficiente de } x),\\[4pt] A = 1 &\text{(termo constante).} \end{cases}
Das duas últimas equações já temos A=1\] e \(C=1. Substituindo A=1 na primeira equação:
1 + B = -1 \implies B = -2.
Portanto A=1, B=-2, C=1.]

Passo 5

Substituindo esses valores na decomposição, obtemos
\frac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x} = \frac{1}{x} + \frac{-2x+1}{x^{2}+1}.
É conveniente separar o segundo termo:
\frac{-2x+1}{x^{2}+1} = -\frac{2x}{x^{2}+1} + \frac{1}{x^{2}+1}.
Assim o integrando fica somatório de termos simples:
\frac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x} = \frac{1}{x} - \frac{2x}{x^{2}+1} + \frac{1}{x^{2}+1}.
Pela linearidade da integral, podemos integrar termo a termo:
\int \frac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx - \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 6

Agora calculamos cada integral, explicando as fórmulas usadas.
  1. Integral do termo \dfrac{1}{x}:
    A primitiva conhecida é o logaritmo natural (com valor absoluto porque x pode ser negativo). Ou seja,
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C_1.
Aqui C_1 é uma constante parcial que será incorporada à constante final.
  1. Integral do termo -\dfrac{2x}{x^{2}+1}:
    Uma técnica simples é a substituição u = x^{2}+1. Então du = 2x\,dx. Assim
\int -\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C_2.
Voltando a x, como u=x^{2}+1>0 para todo x, podemos escrever
-\ln|u| = -\ln(x^{2}+1).
  1. Integral do termo \dfrac{1}{x^{2}+1}:
    Essa é uma primitiva padrão: a derivada da função \arctan x é \dfrac{1}{1+x^{2}}. Portanto
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C_3.

Passo 7

Somando as três primitivas (e combinando as constantes C_1,C_2,C_3 numa única constante C), obtemos a antiderivada final:
\int \frac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x}\,dx = \ln|x| - \ln(x^{2}+1) + \arctan x + C.
Opcionalmente podemos juntar os logaritmos:
\ln|x| - \ln(x^{2}+1) = \ln\!\left(\frac{|x|}{x^{2}+1}\right),
mas a forma separada fica mais clara para uso em prova.

Resposta

\ln|x| - \ln(x^{2}+1) + \arctan x + C

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