Calcule as seguintes integrais indefinidas: (5 pontos ) \int \frac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x}\,dx.
Informações dadas relevantes: o integrando é a função racional \dfrac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x}, ou seja, um quociente de polinômios. A variável de integração é x. A resposta deve ser uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais uma constante arbitrária C.
Passo 2
Primeiro passo do cálculo: manipular a expressão para torná-la mais simples de integrar. Observamos o denominador x^{3}+x; podemos fatorá-lo por fator comum. Explico esse procedimento: fatorar por elemento comum significa escrever um polinômio como produto de um fator que aparece em todos os termos e outro polinômio restante. Aqui, ambos os termos têm fator x. Assim,
x^{3}+x = x\,(x^{2}+1).
Isso transforma o integrando em uma função racional cujo denominador tem um fator linear \,x\, e um fator quadrático irreduzível \,x^{2}+1\,. Para integrar funções racionais assim, uma técnica muito útil é a decomposição em frações parciais: representar a fração como soma de frações mais simples cuja integração é direta.
Passo 3
Proponho a decomposição em frações parciais no formato apropriado para um fator linear e um quadrático irreduzível:
onde A, B e C são constantes reais que vamos determinar. Agora multiplicamos ambos os lados por x(x^{2}+1) para obter uma identidade de polinômios:
-x^{2}+x+1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)x.
Vou desenvolver o lado direito e agrupar termos semelhantes.
Passo 4
Expandindo o lado direito:
A(x^{2}+1) + (Bx+C)x = A x^{2} + A + B x^{2} + C x = (A+B)x^{2} + C x + A.
Como essa igualdade vale para todo x\), os coeficientes dos mesmos graus de \(x\) devem coincidir entre os dois lados. Comparando coeficientes entre
\[-x^{2}+x+1 \quad\text{e}\quad (A+B)x^{2} + C x + A,
obtemos o sistema linear
\begin{cases} A + B = -1 &\text{(coeficiente de } x^{2}),\\[4pt] C = 1 &\text{(coeficiente de } x),\\[4pt] A = 1 &\text{(termo constante).} \end{cases}
Das duas últimas equações já temos A=1\] e \(C=1. Substituindo A=1 na primeira equação:
1 + B = -1 \implies B = -2.
Portanto A=1, B=-2, C=1.]
Passo 5
Substituindo esses valores na decomposição, obtemos