Calcule as seguintes integrais indefinidas:
q) integral x1+x^2 d x
r) integral x e^-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais indefinidas q) integral x1+x^2,dx e r) integral x,e^-x^2,dx. O conteúdo central é o método de substituição em integrais, reconhecendo padrões onde a derivada de uma parte interna aparece no integrando.

Passo 2

Para a integral q) integral x1+x^2,dx, note que a derivada de 1+x^2 é 2x. Fazendo a substituição u = 1+x^2 temos du = 2x,dx ou x,dx = tfracdu2. Assim, a integral se transforma em
integral x1+x^2,dx = integral 1u cdot du2 = 12integral 1u,du
Integrando, obtemos
12ln|u| + C = 12ln(1+x^2) + C

Passo 3

Para a integral r) integral x,e^-x^2,dx, observe que a derivada de -x^2 é -2x. Escolhendo u = -x^2 du = -2x,dx ou x,dx = -tfracdu2. A integral vira
integral x,e^-x^2,dx = integral e^u cdot l(-du2r) = -12integral e^u,du
Integrando, resulta
-12e^u + C = -12e^-x^2 + C

Resposta

q) tfrac12ln(1+x^2) + C; r) -tfrac12e^-x^2 + C.

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