Ache o valor médio da função no intervalo:
a) 2 x^2-3 x [-1,2]
b) 1+raizx[0,4]

Passo 1

A questão pede para calcular o valor médio de duas funções em intervalos dados, usando cálculo integral. O conteúdo aqui é valor médio de função em um intervalo e vamos precisar da definição via integral definida e de antiderivadas.

Passo 2

O valor médio de uma função f(x) num intervalo [a,b] é dado por:
fmédio = 1b - a integrala^b f(x) , dx é
Para resolver, vamos achar a antiderivada de cada função, avaliar nos extremos e depois dividir pela largura do intervalo.

Passo 3

Para a função f(x)=2x^2 - 3x no intervalo [-1,2]:
  1. Antiderivada:
F(x) = integral (2x^2 -3x) , dx = 23x^3 - 32x^2
2) Integral definida:
integral-1^2 (2x^2 -3x) , dx = F(2) - F(-1)
  1. Avaliando:
F(2) = 23cdot 8 - 32cdot 4 = 163 - 6 = -23,
F(-1) = 23(-1)^3 - 32(-1)^2 = -23 - 32 = -136
integral-1^2 (2x^2 -3x) , dx = -tfrac23 - l(-tfrac136r) = tfrac32
4) Como b-a=2-(-1)=3, o valor médio é
fmédio = 13 cdot 32 = 12 é

Passo 4

Para a função g(x)=1+raizx no intervalo [0,4]:
  1. Antiderivada:
G(x) = integral (1 + x^1/2) , dx = x + 23x^3/2
2) Integral definida:
integral0^4 (1 + raizx) , dx = G(4) - G(0)
  1. Avaliando:
G(4) = 4 + 23cdot 4^3/2 = 4 + 23cdot 8 = 4 + 163 = 283,
G(0) = 0
integral0^4 (1 + raizx) , dx = 283
4) Como b-a=4-0=4, o valor médio é
gmédio = 14 cdot 283 = 73 é

Resposta

a) 1/2 b) 7/3

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