Calcule as seguintes integrais indefinidas:
s) integral x^21+x^6 d x
Calcule as integrais usando integração por partes e as seguintes escolhas de u e d v :
a) integral x ln (x) d x, u=ln (x), d v=x d x

Passo 1

Temos que calcular duas integrais indefinidas: s) integral x^21+x^6,dx e a) integral xln(x),dx. O conteúdo envolve técnicas de integração: para a primeira usaremos substituição simples, e para a segunda integração por partes com u=ln(x) e dv=x,dx.

Passo 2

Para s), fazemos a substituição t = x^3. Logo dt = 3x^2,dx, ou seja x^2,dx = dfracdt3. A integral passa a ser dfrac13integral dt1+t^2.
Integrando, usamos integral dt1+t^2 = arctan(t) + C. Assim obtemos dfrac13arctan(t) + C. Substituindo t = x^3, a resposta da s) é dfrac13arctan(x^3) + C.

Passo 3

Para a), aplicamos a fórmula de integração por partes integral u,dv = u,v - integral v,du. Escolhendo u = ln(x) e dv = x,dx, temos du = dxx e v = dfracx^22.
Substituindo na fórmula, obtemos
integral xln(x),dx = ln(x)cdotx^22 - integral x^22cdot1x,dx = x^22ln(x) - 12integral x,dx = x^22ln(x) - x^24 + C

Resposta

s) 13arctan(x^3) + C, a) x^22ln(x) - x^24 + C

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