Considere o sinal
x(t)=sinc(10 t)=sin (10 pi t)10 pi t
Este sinal possui energia finita, embora sua duração seja infinita. Calcule a energia Ex de x(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a energia do sinal . Vamos usar conceitos de sinais e sistemas, mais especificamente a definição de energia de um sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é energia de um sinal. A energia Ex = integral-infty^infty |x(t)|^2 , dt de um sinal Ex = integral-infty^infty ( sin (10 pi t)10 pi t )^2 dt é dada pela integral do quadrado do valor absoluto do sinal ao longo de todo o tempo. Matematicamente, isso é expresso como:
No nosso caso, como é real, podemos simplificar para:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que temos:
( sin (10 pi t)10 pi t )^2 = sin^2 (10 pi t)(10 pi t)^2
Podemos reescrever isso como:
1(10 pi)^2 sin^2 (10 pi t)
Então, a integral fica:
Ex = 1(10 pi)^2 integral-infty^infty sin^2 (10 pi t) , dt

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar a função seno ao quadrado:
sin^2(a t) = 1 - cos(2 a t)2
Aplicando isso no nosso caso, onde sin^2(10 pi t) = 1 - cos(20 pi t)2 :
Ex = 1(10 pi)^2 integral-infty^infty 1 - cos(20 pi t)2 , dt = 12(10 pi)^2 integral-infty^infty (1 - cos(20 pi t)) dt
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
integral-infty^infty 1 , dt - integral-infty^infty cos(20 pi t) , dt
A primeira integral, Ex = 12(10 pi)^2 times infty , é infinita, mas a segunda integral, , é zero porque a função cosseno oscila de forma simétrica ao redor do eixo temporal.
Então, temos:
No entanto, isso sugere que houve um erro na abordagem direta. Na verdade, para o sinal sinc, é mais fácil usar a propriedade de que a energia de é igual a . Aplicando isso:

Resposta

A energia do sinal é .

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