Considere o sinal
Este sinal possui energia finita, embora sua duração seja infinita. Calcule a energia
de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a energia do sinal
. Vamos usar conceitos de sinais e sistemas, mais especificamente a definição de energia de um sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é energia de um sinal. A energia
de um sinal
é dada pela integral do quadrado do valor absoluto do sinal ao longo de todo o tempo. Matematicamente, isso é expresso como:
No nosso caso, como
é real, podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que temos:
Podemos reescrever isso como:
Então, a integral fica:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar a função seno ao quadrado:
Aplicando isso no nosso caso, onde
:
Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes:
A primeira integral,
, é infinita, mas a segunda integral,
, é zero porque a função cosseno oscila de forma simétrica ao redor do eixo temporal.
Então, temos:
No entanto, isso sugere que houve um erro na abordagem direta. Na verdade, para o sinal sinc, é mais fácil usar a propriedade de que a energia de
é igual a
. Aplicando isso:
Resposta
A energia
do sinal
é
.