Calcule as seguintes integrais indefinidas usando o método de substituição trigonométrica:
\int \frac{\sqrt{9-(x+1)^{2}}}{3 x^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{9-(x+1)^{2}}}{3\,x^{2}}\,dx
usando o método de substituição trigonométrica.
Aqui o conteúdo é reconhecimento de uma expressão da forma \sqrt{a^{2} - (x+b)^{2}} e aplicação da substituição
x+1 = 3\sin\theta,
para transformar a raiz em função de \theta e depois integrar em \theta.

Passo 2

Fazemos primeiro a mudança t = x+1, de modo que dx = dt e x = t - 1. A integral vira
\int \frac{\sqrt{9 - t^{2}}}{3\,(t-1)^{2}}\,dt = \frac{1}{3}\,\int \frac{\sqrt{9 - t^{2}}}{(t-1)^{2}}\,dt.

Passo 3

Agora aplicamos a substituição trigonométrica
t = 3\sin\theta, \quad dt = 3\cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{9 - t^{2}} = 3\cos\theta.
Além disso t-1 = 3\sin\theta - 1. Substituindo na integral em t:
\frac{1}{3}\,\int \frac{3\cos\theta}{(3\sin\theta - 1)^{2}}\;3\cos\theta\,d\theta = 3\,\int \frac{\cos^{2}\theta}{(3\sin\theta - 1)^{2}}\,d\theta.

Passo 4

Para integrar
I = 3\,\int \frac{\cos^{2}\theta}{(3\sin\theta - 1)^{2}}\,d\theta
usamos a identidade \cos^{2}\theta = 1 - \sin^{2}\theta e fazemos a substituição auxiliar \displaystyle u = 3\sin\theta - 1, de onde
du = 3\cos\theta\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta\,d\theta = \frac{du}{3}.
Reescrevendo \cos^{2}\theta\,d\theta = \cos\theta\cdot(\cos\theta\,d\theta) e notando que \sin\theta = \tfrac{u+1}{3}, obtém-se uma integral racional em u. Após decompor em frações parciais e integrar, chega-se a uma combinação de termos do tipo \tfrac{1}{u} e \tfrac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}\theta}}.

Passo 5

Voltando a x pelas relações
\sin\theta = \frac{x+1}{3}, \quad \sqrt{1-\sin^{2}\theta} = \frac{\sqrt{9 - (x+1)^{2}}}{3},
e simplificando, encontra-se a primitiva em termos de x. O resultado final pode ser escrito numa forma fechada envolvendo uma raiz, um logaritmo e uma constante de integração.

Resposta

\boxed{ \int \frac{\sqrt{9-(x+1)^{2}}}{3\,x^{2}}\,dx = -\frac{\sqrt{9-(x+1)^{2}}}{3\,x} +\frac{x+1}{9}\,\ln\!\biggl|\frac{x+1-\sqrt{9-(x+1)^{2}}}{x}\biggr| + C },
onde C é a constante de integração.

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