Calcule as seguintes integrais indefinidas usando o método de substituição trigonométrica:
\int \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{3 x^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{3x^{2}}\,dx
usando substituição trigonométrica. Quando vemos \sqrt{a^{2}-x^{2}}, é comum usar
x = a\sin\theta,
aqui a=4, para transformar essa raiz em cosseno.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = 4\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad dx = 4\cos\theta\,d\theta,
e como
\sqrt{16 - x^{2}} = \sqrt{16 - 16\sin^{2}\theta} = 4\cos\theta,
podemos reescrever a integral em termos de \theta.

Passo 3

Substituindo tudo em \int \frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{3x^{2}}\,dx, temos
\int \frac{4\cos\theta}{3\,(4\sin\theta)^{2}}\;4\cos\theta\,d\theta = \int \frac{16\cos^{2}\theta}{3\cdot16\sin^{2}\theta}\,d\theta = \frac{1}{3}\int \frac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}\,d\theta = \frac{1}{3}\int \cot^{2}\theta\,d\theta.
E lembrando a identidade \cot^{2}\theta = \csc^{2}\theta - 1, isso vira
\frac{1}{3}\int (\csc^{2}\theta - 1)\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos em \theta:
\int \csc^{2}\theta\,d\theta = -\cot\theta, \quad \int 1\,d\theta = \theta.
Logo
\frac{1}{3}\int (\csc^{2}\theta - 1)\,d\theta = \frac{1}{3}\bigl(-\cot\theta - \theta\bigr) + C = -\frac{1}{3}\cot\theta - \frac{1}{3}\,\theta + C.

Passo 5

Voltaos para x. Temos
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr), \qquad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{1-\sin^{2}\theta}}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{16-x^{2}}/4}{x/4} = \frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x}.
Substituindo, a primitiva fica
-\frac{1}{3}\,\frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x} -\frac{1}{3}\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{3x^{2}}\,dx = -\frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{3x} - \frac{1}{3}\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr) + C.

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