Calcule as seguintes integrais indefinidas usando o método de substituição trigonométrica:
\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{(x+2)^{2}-4}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{x^{2}\,\sqrt{(x+2)^{2}-4}}
usando substituição trigonométrica. O conteúdo é integração por substituição de variável com funções trigonométricas, e vamos precisar trocar x+2 por uma função de \theta de modo a simplificar a raiz quadrada.

Passo 2

Fazemos a escolha
x+2 = 2\,\operatorname{sec}\theta,
de modo que
\sqrt{(x+2)^{2}-4} = \sqrt{4\operatorname{sec}^{2}\theta -4} = 2\,\tan\theta, \qquad dx = 2\,\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta,
e também
x = 2\,\operatorname{sec}\theta -2.
Então o integrando fica
\frac{dx}{x^{2}\sqrt{(x+2)^{2}-4}} = \frac{2\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta}{\bigl(2(\operatorname{sec}\theta-1)\bigr)^{2}\,\bigl(2\tan\theta\bigr)} = \frac{\operatorname{sec}\theta}{4(\operatorname{sec}\theta-1)^{2}}\,d\theta.
Logo
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{(x+2)^{2}-4}} = \frac{1}{4}\,\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{(\operatorname{sec}\theta-1)^{2}}\,d\theta.

Passo 3

Para integrar
\frac{\operatorname{sec}\theta}{(\operatorname{sec}\theta-1)^{2}}
escrevemos
\frac{\operatorname{sec}\theta}{(\operatorname{sec}\theta-1)^{2}} = \frac{1}{\operatorname{sec}\theta-1} \;+\;\frac{1}{(\operatorname{sec}\theta-1)^{2}}
e notamos que
\frac{1}{\operatorname{sec}\theta-1} = \frac{\cos\theta}{1-\cos\theta}, \quad \frac{1}{(\operatorname{sec}\theta-1)^{2}} = \frac{\cos^{2}\theta}{(1-\cos\theta)^{2}}.
Usando a meia‐soma 1-\cos\theta = 2\sin^{2}\tfrac\theta2 e \cos\theta=1-2\sin^{2}\tfrac\theta2, obtemos após simplificação que
\frac{\operatorname{sec}\theta}{(\operatorname{sec}\theta-1)^{2}} = \frac{1}{4\,\sin^{4}\tfrac\theta2} -\frac{1}{2\,\sin^{2}\tfrac\theta2}.
Portanto
\frac{1}{4}\,\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{(\operatorname{sec}\theta-1)^{2}}\,d\theta = \frac{1}{16}\int \csc^{4}\!\Bigl(\tfrac\theta2\Bigr)\,d\theta \;-\;\frac{1}{8}\int \csc^{2}\!\Bigl(\tfrac\theta2\Bigr)\,d\theta.

Passo 4

Fazemos u=\tfrac\theta2, d\theta=2\,du. Então
\int \csc^{4}u\,d\theta =2\int \csc^{4}u\,du, \quad \int \csc^{2}u\,d\theta =2\int \csc^{2}u\,du.
Sabemos que
\int \csc^{2}u\,du = -\cot u, \quad \int \csc^{4}u\,du = -\bigl(\cot u +\tfrac{1}{3}\cot^{3}u\bigr).
Substituindo de volta e organizando, obtemos em função de u=\tfrac\theta2:
F(\theta) = \frac{1}{8}\,\cot\!\Bigl(\tfrac\theta2\Bigr) -\frac{1}{24}\,\cot^{3}\!\Bigl(\tfrac\theta2\Bigr) + C.

Passo 5

Resta voltar de \theta para x. Da substituição inicial,
\tan\theta = \frac{\sqrt{(x+2)^{2}-4}}{2}, \quad \operatorname{sec}\theta = \frac{x+2}{2}.
Usando a fórmula
\tan\!\Bigl(\tfrac\theta2\Bigr) = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \frac{\sqrt{(x+2)^{2}-4}/2}{1 + 2/(x+2)} = \frac{\sqrt{(x+2)^{2}-4}}{x+4},
segue que
\cot\!\Bigl(\tfrac\theta2\Bigr) = \frac{x+4}{\sqrt{(x+2)^{2}-4}}.
Substituindo em F(\theta) e simplificando, chega‐se a
F(x) = \frac{1}{12}\,\frac{x^{3}+6x^{2}-32}{\bigl(x(x+4)\bigr)^{3/2}} + C.

Resposta

\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{(x+2)^{2}-4}} = \frac{1}{12}\,\frac{x^{3}+6x^{2}-32}{\bigl(x(x+4)\bigr)^{3/2}} + C.

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