Calcule as seguintes integrais indefinidas usando o método de substituição trigonométrica: \int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2}} d x.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2}}\,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo é a integral de expressões com \sqrt{x^{2}+a^{2}}. Vamos usar a substituição
x = \sqrt{2}\,\tan\theta.
Passo 2
Com a substituição escolhida temos
x = \sqrt{2}\,\tan\theta,\quad dx = \sqrt{2}\,\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,\quad \sqrt{x^{2}+2} = \sqrt{2}\,\operatorname{sec}\theta.