Calcule as seguintes integrais indefinidas usando o método de substituição trigonométrica:
\int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2}}\,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo é a integral de expressões com \sqrt{x^{2}+a^{2}}. Vamos usar a substituição
x = \sqrt{2}\,\tan\theta.

Passo 2

Com a substituição escolhida temos
x = \sqrt{2}\,\tan\theta,\quad dx = \sqrt{2}\,\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,\quad \sqrt{x^{2}+2} = \sqrt{2}\,\operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2}}\,dx = \int \frac{3\,(2\tan^{2}\theta)}{\sqrt{2}\,\operatorname{sec}\theta}\;\bigl(\sqrt{2}\,\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta\bigr) = 6\int \tan^{2}\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Usando \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1, isso vira
6\int (\operatorname{sec}^{3}\theta - \operatorname{sec}\theta)\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos cada termo. Sabemos que
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C \quad\text{e}\quad \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\,\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta + \frac{1}{2}\,\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
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6\int (\operatorname{sec}^{3}\theta - \operatorname{sec}\theta)\,d\theta = 6\Bigl[\tfrac12\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \tfrac12\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| - \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|\Bigr] + C
= 3\,\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta \;-\;3\,\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.

Passo 5

Voltaremos a x. Como
\tan\theta = \frac{x}{\sqrt{2}},\quad \operatorname{sec}\theta = \sqrt{1+\tan^{2}\theta} = \frac{\sqrt{x^{2}+2}}{\sqrt{2}},
temos
\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta = \frac{x\,\sqrt{x^{2}+2}}{2}, \quad \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| = \ln\!\Bigl|\frac{x+\sqrt{x^{2}+2}}{\sqrt{2}}\Bigr| = \ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+2}\bigr| + \text{const}.
Substituindo e absorvendo constantes em C, concluímos a antiderivada.

Resposta

\frac{3x}{2}\,\sqrt{x^{2}+2}\;-\;3\,\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+2}\bigr|\;+\;C.

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