Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
11.
\int \operatorname{cotg} \frac{x}{3} \mathrm{~d} x. Resposta. 3 \ln \left|\operatorname{sen} \frac{x}{3}\right|+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{cotg}\frac{x}{3}\,\diff x.
O conteúdo é integração de função trigonométrica, e vamos usar mudança de variável junto com a fórmula da tabela
\int \operatorname{cotg}u\,\diff u = \ln\bigl|\operatorname{sen}u\bigr| + C.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \frac{x}{3} \quad\Longrightarrow\quad \diff u = \frac{1}{3}\,\diff x \quad\Longrightarrow\quad \diff x = 3\,\diff u.
Substituindo na integral original, obtemos
\int \operatorname{cotg}\!\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)\,\diff x = \int \operatorname{cotg}u \;\bigl(3\,\diff u\bigr) = 3 \int \operatorname{cotg}u\,\diff u.

Passo 3

Usando a fórmula da tabela para a integral de \operatorname{cotg}u, temos
3 \int \operatorname{cotg}u\,\diff u = 3 \,\ln\bigl|\operatorname{sen}u\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável x pela relação u = \tfrac{x}{3}, concluímos
3 \,\ln\bigl|\operatorname{sen}u\bigr| + C = 3 \,\ln\Bigl|\operatorname{sen}\tfrac{x}{3}\Bigr| + C.

Resposta

3 \ln\Bigl|\operatorname{sen}\tfrac{x}{3}\Bigr| + C.

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