Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
10.
\int \operatorname{cotg}(5 x-7) d x. Resposta. \frac{1}{5} \ln |\operatorname{sen}(5 x-7)|+C.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \cot(5x-7)\,dx.
O conteúdo principal é usar uma substituição para reduzir ao caso padrão e depois aplicar a fórmula da tabela
\int \cot u\,du = \ln\bigl|\sin u\bigr| + C.

Passo 2

Fazemos a troca de variáveis
u = 5x - 7, \quad du = 5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.
Substituindo na integral:
\int \cot(5x-7)\,dx =\int \cot(u)\,\frac{du}{5} =\frac{1}{5}\int \cot u\,du.

Passo 3

Usando a fórmula conhecida
\int \cot u\,du = \ln\bigl|\sin u\bigr| + C,
temos
\frac{1}{5}\int \cot u\,du =\frac{1}{5}\ln\bigl|\sin u\bigr| + C.
Voltando à variável original x (isto é, u=5x-7), obtemos a resposta.

Resposta

\frac{1}{5}\ln\bigl|\sin(5x-7)\bigr| + C.

Exercícios relacionados