Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
12.
\int \operatorname{tg} \varphi \operatorname{sec} ^{2} \varphi \mathrm{~d} \varphi. Resposta. \frac{1}{2} \operatorname{tg}^{2} \varphi+\mathrm{C}. Sugestão. Faça \mathrm{u}=\operatorname{tg} \varphi.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \tan\varphi \,\operatorname{sec}^2\varphi\,d\varphi.
O conteúdo principal é integração por substituição.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = \tan\varphi
para que
du = \operatorname{sec}^2\varphi\,d\varphi.

Passo 3

Substituindo na integral, fica
\int \tan\varphi \,\operatorname{sec}^2\varphi\,d\varphi = \int u\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C.
Voltando a \varphi, obtemos
\frac{u^2}{2} + C = \frac{\tan^2\varphi}{2} + C.

Resposta

\frac{1}{2}\tan^2\varphi + C

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