Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
13.
\int e^{x} \operatorname{cotg} e^{x} d x. Resposta. In \left|\operatorname{sen} e^{x}\right|+C. Sugestão. Faça u=e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{x}\,\operatorname{cotg}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx
usando, quando necessário, mudança de variáveis. Aqui vamos aplicar a técnica de substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = e^{x}.
Como du = e^{x}\,dx, temos exatamente o fator e^{x}\,dx presente na integral original.

Passo 3

Substituindo u e du na integral, obtemos
\int e^{x}\,\operatorname{cotg}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx = \int \operatorname{cotg}(u)\,du.

Passo 4

Para integrar \int \operatorname{cotg}(u)\,du, recordamos que \operatorname{cotg}(u)=\frac{\cos u}{\sin u} e que
\frac{d}{du}\bigl(\ln\lvert\sin u\rvert\bigr) = \frac{1}{\sin u}\,\cos u = \operatorname{cotg}(u).
Logo,
\int \operatorname{cotg}(u)\,du = \ln\bigl\lvert\sin u\bigr\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = e^{x} no resultado acima.

Resposta

\ln\bigl\lvert\sin(e^{x})\bigr\rvert + C

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