Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
16.
\int \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{2 x^{2}+3}}. Resposta. \frac{1}{2} \sqrt{2 x^{2}+3}+ C. Sugestão. Faça u=2 x^{2}+3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{2x^{2}+3}}
usando mudança de variável. A sugestão é tomar u=2x^{2}+3, que é um caso típico de integração por substituição.

Passo 2

Fazendo a substituição u=2x^{2}+3, temos
\frac{du}{dx}=4x \quad\Longrightarrow\quad du=4x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{2x^{2}+3}} =\int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{4} =\frac{1}{4}\int u^{-\tfrac12}du.
Agora usamos a tabela de integrais ou a regra de potência:
\int u^{-\tfrac12}du =2\,u^{\tfrac12}+C.
Assim,
\frac{1}{4}\int u^{-\tfrac12}du =\frac{1}{4}\cdot2\,u^{\tfrac12}+C =\frac{1}{2}\,u^{\tfrac12}+C.

Passo 4

Voltando à variável x por u=2x^{2}+3, chega-se a
\frac{1}{2}\,\sqrt{2x^{2}+3}+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2x^{2}+3}+C

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