Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
17.
\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{x^{3}+1}}. Resposta. \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}+1}+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}}\,dx,
que é um caso clássico de integração por substituição. Vamos usar a substituição que simplifica o radicando x^{3}+1.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{3} + 1.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = 3\,x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\bigl(x^{2}\,dx\bigr) = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\,\int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos u^{-\tfrac12}:
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,u^{\tfrac12}.
Portanto,
\frac{1}{3}\,\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{3}\cdot 2\,u^{\tfrac12} = \frac{2}{3}\,\sqrt{u} = \frac{2}{3}\,\sqrt{x^{3}+1}.

Resposta

\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}}\,dx = \frac{2}{3}\,\sqrt{x^{3}+1} + C.

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