Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
18.
\int \frac{\operatorname{sen} x d x}{\cos ^{3} x}. Resposta. \frac{1}{2 \cos ^{2} x}+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{3}x}\,dx
utilizando mudança de variáveis. O conteúdo é integração por substituição, reconhecendo que a derivada de \cos x está (até sinal) no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos x
logo
du = -\operatorname{sen} x\,dx
e portanto
\operatorname{sen} x\,dx = -\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{3}x}\,dx = \int \frac{-\,du}{u^{3}} = -\int u^{-3}\,du.

Passo 4

Integramos usando a regra de potência \int u^{n}\,du = u^{n+1}/(n+1) para n\neq -1:
-\int u^{-3}\,du = -\frac{u^{-2}}{-2} + C = \frac{u^{-2}}{2} + C.

Passo 5

Voltando a variável x (lembre que u=\cos x):
\frac{u^{-2}}{2} + C = \frac{1}{2\,u^{2}} + C = \frac{1}{2\,\cos^{2}x} + C.

Resposta

\int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{3}x}\,dx = \frac{1}{2\,\cos^{2}x} + C.

Exercícios relacionados