Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
19.
\int \frac{\operatorname{cotg} x}{\operatorname{sen}^{2} x} \mathrm{~d} x. Resposta. -\frac{\operatorname{cotg}^{2} x}{2}+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\cot x}{\sin^2 x}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração por substituição, aproveitando que a derivada de \cot x está relacionada a \csc^2 x.

Passo 2

Note que
\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr) = -\,\csc^2 x.
Isso indica a substituição u=\cot x.

Passo 3

Defina
u = \cot x, \quad du = -\,\csc^2 x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \csc^2 x\,dx = -\,du.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{\cot x}{\sin^2 x}\,dx = \int \cot x\;\csc^2 x\,dx = \int u\;(-\,du) = -\int u\,du = -\frac{u^2}{2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u=\cot x e obtemos
-\frac{u^2}{2} + C = -\frac{\cot^2 x}{2} + C.

Resposta

-\frac{\cot^2 x}{2} + C

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