Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
20.
\int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{2} x \sqrt{\operatorname{tg} x-1}}. Resposta. 2 \sqrt{\operatorname{tg} x-1}+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{\cos^{2}x\,\sqrt{\tan x - 1}}
usando mudança de variável. O conteúdo principal é reconhecer que a derivada de \tan x envolve 1/\cos^{2}x, o que sugere a substituição adequada.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = \tan x - 1.
Como \displaystyle \frac{d}{dx}(\tan x)=\frac1{\cos^{2}x}, segue que
du = \frac{dx}{\cos^{2}x}.
Assim, a integral em x transforma-se em uma integral em u.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{dx}{\cos^{2}x\,\sqrt{\tan x - 1}} = \int \frac{du}{\sqrt{u}}.
Da tabela 15.1 (caso \int u^{\alpha}du), com \alpha=-\tfrac12, temos
\int u^{-\tfrac12}du = 2\,u^{\tfrac12} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = \tan x - 1 na primitiva encontrada:
2\,u^{\tfrac12} + C = 2\,\sqrt{\tan x - 1} + C.

Resposta

2\,\sqrt{\tan x - 1} + C.

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