Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
21.
\int \frac{\operatorname{sen} 2 x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2} x}}. Resposta. 2 \sqrt{1+\operatorname{sen}^{2} x}+ C. Sugestão. Faça u=1+\operatorname{sen}^{2} x.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int \frac{\operatorname{sen} 2x}{\sqrt{1+\operatorname{sen}^2 x}}\,dx
e pede que a calculemos por substituição de variáveis. O conteúdo aqui é integração por substituição (u-substituição) aliada a uma identidade trigonométrica para reescrever o numerador.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{sen} 2x = 2\,\operatorname{sen} x\cos x
para reescrever a integral como
\int \frac{\operatorname{sen} 2x}{\sqrt{1+\operatorname{sen}^2 x}}\,dx = \int \frac{2\,\operatorname{sen} x\cos x}{\sqrt{1+\operatorname{sen}^2 x}}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 1 + \operatorname{sen}^2 x,
de onde
du = 2\,\operatorname{sen} x\cos x\,dx.
Logo a integral fica
\int \frac{2\,\operatorname{sen} x\cos x}{\sqrt{1+\operatorname{sen}^2 x}}\,dx = \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12} + C = 2\sqrt{u} + C.
Voltando a x, temos
2\sqrt{\,1+\operatorname{sen}^2 x\,} + C.

Resposta

2\sqrt{1+\operatorname{sen}^2 x}+C.

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