Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
33.
\int x a^{x^{2}} d x. Resposta. \frac{a^{x^{2}}}{2 \ln a}+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\,a^{x^{2}}\,dx
Aqui o conteúdo principal é a técnica de mudança de variável (substituição), e também a fórmula da tabela de integrais
\int a^{u}\,du = \frac{a^{u}}{\ln a} + C.

Passo 2

Fazemos a substituição u = x^{2}. Então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral original:
\int x\,a^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int a^{u}\,du.
Agora usamos a fórmula da tabela:
\int a^{u}\,du = \frac{a^{u}}{\ln a} + C,
logo
\frac{1}{2}\int a^{u}\,du = \frac{1}{2}\,\frac{a^{u}}{\ln a} + C = \frac{a^{u}}{2\ln a} + C.
Voltando à variável original u = x^{2}, obtemos
\frac{a^{x^{2}}}{2\ln a} + C.

Resposta

\frac{a^{x^{2}}}{2\ln a} + C.

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