Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
34. \int \frac{e^{x}}{3+4 e^{x}} \mathrm{dx}. Resposta. \frac{1}{4} \ln \left(3+4 e^{x}\right)+C.
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{e^{x}}{3+4e^{x}}\,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição simples, pois o denominador é uma função afim de e^{x} cuja derivada aparece no numerador.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável
u = 3 + 4e^{x}.
Diferenciando,
du = 4e^{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{x}\,dx = \frac{1}{4}\,du.