Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
35.
\int \frac{\mathrm{d} x}{1+2 x^{2}}. Resposta. \frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{arctg}(\sqrt{2} x)+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{\mathrm{d}x}{1 + 2x^{2}}.
Aqui vamos usar o método de substituição e a fórmula da tabela para
\int \frac{\mathrm{d}u}{1 + u^{2}} = \arctan(u) + C.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = \sqrt{2}\,x,
para que no denominador apareça 1 + u^{2}. Então
\mathrm{d}u = \sqrt{2}\,\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{\mathrm{d}x}{1 + 2x^{2}} = \int \frac{1}{1 + u^{2}}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\mathrm{d}u}{1 + u^{2}}.

Passo 4

Agora usamos diretamente a fórmula
\int \frac{\mathrm{d}u}{1 + u^{2}} = \arctan(u) + C,
logo
\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\mathrm{d}u}{1 + u^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\arctan(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x pela relação u = \sqrt{2}\,x, obtemos
\int \frac{\mathrm{d}x}{1 + 2x^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\arctan\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{2}}\,\arctan\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + C.

Exercícios relacionados