Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
34.
\int \frac{e^{x}}{3+4 e^{x}} \mathrm{dx}. Resposta. \frac{1}{4} \ln \left(3+4 e^{x}\right)+C.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{e^{x}}{3+4e^{x}}\,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição simples, pois o denominador é uma função afim de e^{x} cuja derivada aparece no numerador.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = 3 + 4e^{x}.
Diferenciando,
du = 4e^{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{x}\,dx = \frac{1}{4}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{e^{x}}{3+4e^{x}}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\Bigl(\tfrac{1}{4}\,du\Bigr) = \frac{1}{4}\int \frac{du}{u}.
Sabendo que \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C, temos
\frac{1}{4}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{4}\ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável x,
\frac{1}{4}\ln\bigl|u\bigr| + C = \frac{1}{4}\ln\bigl(3+4e^{x}\bigr) + C,
já que 3+4e^{x}>0 para todo x.

Resposta

\frac{1}{4}\ln\bigl(3+4e^{x}\bigr) + C

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