Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
41.
\int \frac{x^{2} \mathrm{~d} x}{5-x^{6}}. Resposta. \frac{1}{6 \sqrt{5}} \ln \left|\frac{x^{3}+\sqrt{5}}{x^{3}-\sqrt{5}}\right|+ C. Sugestão. x^{6}=\left(x^{3}\right)^{2}, e então u=x^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}\,\mathrm{d}x}{5 - x^{6}}
utilizando, se necessário, mudança de variáveis. O conteúdo principal aqui é integração por substituição e o uso da fórmula para integrais do tipo
\int \frac{\mathrm{d}u}{a^{2}-u^{2}} = \frac{1}{2a}\ln\Bigl|\frac{a+u}{a-u}\Bigr| + C.

Passo 2

Fazemos a substituição sugerida u = x^{3}. Então
\mathrm{d}u = 3x^{2}\,\mathrm{d}x
e, portanto,
x^{2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\,\mathrm{d}u.
Note também que x^{6} = (x^{3})^{2} = u^{2}. Assim a integral em x vira uma em u:

Passo 3

\int \frac{x^{2}\,\mathrm{d}x}{5 - x^{6}} = \int \frac{\frac{1}{3}\,\mathrm{d}u}{5 - u^{2}} = \frac{1}{3}\int \frac{\mathrm{d}u}{5 - u^{2}}.
Aqui identificamos 5 - u^{2} = (\sqrt{5})^{2} - u^{2}. Pelo formulário
\int \frac{\mathrm{d}u}{a^{2}-u^{2}} = \frac{1}{2a}\ln\Bigl|\frac{a+u}{a-u}\Bigr| + C,
com a = \sqrt{5}, temos

Passo 4

\frac{1}{3}\int \frac{\mathrm{d}u}{5 - u^{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2\sqrt{5}} \ln\Bigl|\frac{\sqrt{5}+u}{\sqrt{5}-u}\Bigr| + C = \frac{1}{6\sqrt{5}} \ln\Bigl|\frac{\sqrt{5}+u}{\sqrt{5}-u}\Bigr| + C.
Voltando à variável x com u = x^{3}, obtemos a resposta final.

Resposta

\frac{1}{6\sqrt{5}} \ln\Bigl|\frac{x^{3}+\sqrt{5}}{x^{3}-\sqrt{5}}\Bigr| + C.

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