Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
41. \int \frac{x^{2} \mathrm{~d} x}{5-x^{6}}. Resposta. \frac{1}{6 \sqrt{5}} \ln \left|\frac{x^{3}+\sqrt{5}}{x^{3}-\sqrt{5}}\right|+ C. Sugestão. x^{6}=\left(x^{3}\right)^{2}, e então u=x^{3}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}\,\mathrm{d}x}{5 - x^{6}}
utilizando, se necessário, mudança de variáveis. O conteúdo principal aqui é integração por substituição e o uso da fórmula para integrais do tipo
\int \frac{\mathrm{d}u}{a^{2}-u^{2}} = \frac{1}{2a}\ln\Bigl|\frac{a+u}{a-u}\Bigr| + C.
Passo 2
Fazemos a substituição sugerida u = x^{3}. Então
\mathrm{d}u = 3x^{2}\,\mathrm{d}x
e, portanto,
x^{2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\,\mathrm{d}u.
Note também que x^{6} = (x^{3})^{2} = u^{2}. Assim a integral em x vira uma em u: