Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
40.
\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}+9}}. Resposta. \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+9}\right)+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^{2}+9}}
que é um caso clássico da forma
\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}
com a=3. Podemos usar uma substituição trigonométrica ou recorrer diretamente à tabela de integrais indefinidas.

Passo 2

Fazendo a substituição trigonométrica
x = 3\tan\theta, \quad \mathrm{d}x = 3\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta, \quad \sqrt{x^{2}+9} = 3\operatorname{sec}\theta,
temos
\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^{2}+9}} = \int \frac{3\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta}{3\operatorname{sec}\theta} = \int \operatorname{sec}\theta\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Sabemos que
\int \operatorname{sec}\theta\,\mathrm{d}\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.
Voltando à variável x, note que
\operatorname{sec}\theta = \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3}, \quad \tan\theta = \frac{x}{3}.
Logo,
\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| = \ln\Bigl|\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3} + \frac{x}{3}\Bigr| = \ln\bigl|x + \sqrt{x^{2}+9}\bigr| - \ln 3.
Como -\ln3 é apenas uma constante, podemos absorvê-la em C.

Resposta

\ln\bigl(x + \sqrt{x^{2}+9}\bigr) + C

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