Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
43.
\int \frac{x d x}{x^{4}+a^{4}}. Resposta. \frac{1}{2 a^{2}} \operatorname{arctg} \frac{x^{2}}{a^{2}}+C.

Passo 1

Estamos calculando a integral
\int \frac{x\,dx}{x^{4}+a^{4}}.
O conteúdo é integração por substituição e uso da forma padrão
\displaystyle \int \frac{du}{u^{2}+b^{2}} = \frac{1}{b}\arctan\!\bigl(\frac{u}{b}\bigr)+C
(tabela 15.1, p.164).

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = x^{2}, \quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{x\,dx}{x^{4}+a^{4}} = \int \frac{\tfrac{du}{2}}{u^{2}+a^{4}} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u^{2}+a^{4}}.

Passo 3

Agora reconhecemos a forma padrão com b^{2}=a^{4}, ou seja b=a^{2}. Pela tabela 15.1:
\int \frac{du}{u^{2} + (a^{2})^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{a^{2}}\Bigr) + C.

Passo 4

Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que ficou fora da integral:
\frac{1}{2}\int \frac{du}{u^{2}+a^{4}} = \frac{1}{2}\,\frac{1}{a^{2}}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{a^{2}}\Bigr) + C = \frac{1}{2a^{2}}\arctan\!\Bigl(\frac{x^{2}}{a^{2}}\Bigr) + C.

Resposta

\int \frac{x\,dx}{x^{4}+a^{4}} = \frac{1}{2a^{2}}\arctan\!\Bigl(\frac{x^{2}}{a^{2}}\Bigr) + C.

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