Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
49.
\int \frac{\cos ^{3} x}{\operatorname{sen}^{4} x} \mathrm{~d} x. Resposta. \frac{1}{\operatorname{sen} x}-\frac{1}{3 \operatorname{sen}^{3} x}+\mathrm{C}.
Sugestão. Faça \int \frac{\cos ^{3} x}{\operatorname{sen}^{4} x} \mathrm{~d} x=\int \frac{\cos ^{2} x \cdot \cos x}{\operatorname{sen}^{4} x} \mathrm{~d} x=\int \frac{\left(1-\operatorname{sen}^{2} x\right) \cos x}{\operatorname{sen}^{4} x} \mathrm{~d} x, e então \mathrm{u}=\operatorname{sen} \mathrm{x}.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{\cos^{3}x}{\sin^{4}x}\,\mathrm{d}x
Esse é um caso típico de função racional em \sin x e \cos x. Vamos usar a identidade \cos^{2}x=1-\sin^{2}x e depois a substituição u=\sin x.

Passo 2

Reescrevemos o integrando isolando um fator \cos x\,\mathrm{d}x:
\frac{\cos^{3}x}{\sin^{4}x} =\frac{\cos^{2}x\cdot\cos x}{\sin^{4}x} =\frac{1-\sin^{2}x}{\sin^{4}x}\,\cos x
Assim
\int \frac{\cos^{3}x}{\sin^{4}x}\,\mathrm{d}x =\int \frac{1-\sin^{2}x}{\sin^{4}x}\,\cos x\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Fazendo a substituição
u=\sin x,\quad \mathrm{d}u=\cos x\,\mathrm{d}x,
o integral vira
\int \frac{1-u^{2}}{u^{4}}\,\mathrm{d}u =\int\bigl(u^{-4}-u^{-2}\bigr)\,\mathrm{d}u.
Agora integramos termo a termo:
\int u^{-4}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{-3}}{-3}, \quad \int u^{-2}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{-1}}{-1}.

Passo 4

Somando as partes e retornando a x (pois u=\sin x), obtemos
\int \frac{\cos^{3}x}{\sin^{4}x}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{3\,u^{3}} + \frac{1}{u} + C = \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{3\,\sin^{3}x} + C.

Resposta

\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{3\,\sin^{3}x} + C

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