Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
50.
\int \frac{2 x+3}{2 x+5} \mathrm{~d} x. Resposta. x-\ln |2 x+5|+C.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de
\frac{2x+3}{2x+5}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional; vamos usar decomposição em frações simples e, quando necessário, mudança de variável.

Passo 2

Reescrevemos o numerador em função do denominador:
2x+3 = (2x+5) - 2,
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\frac{2x+3}{2x+5} = 1 - \frac{2}{2x+5}.

Passo 3

A integral se torna
\int \frac{2x+3}{2x+5}\,dx = \int 1\,dx - 2\int \frac{1}{2x+5}\,dx = x - 2\int \frac{1}{2x+5}\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int \frac{1}{2x+5}\,dx, façamos a mudança de variável
u = 2x+5,\quad du = 2\,dx\quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Assim
\int \frac{1}{2x+5}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} = \frac12\int \frac{1}{u}\,du = \frac12\ln\bigl|u\bigr| + C = \frac12\ln\bigl|2x+5\bigr| + C.
Substituindo de volta,
\int \frac{2x+3}{2x+5}\,dx = x - 2\cdot\frac12\ln\bigl|2x+5\bigr| + C = x - \ln\bigl|2x+5\bigr| + C.

Resposta

x - \ln|2x+5| + C

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