Calcule as seguintes integrais:
\int \cos (x) \cos ^{5}(\operatorname{sen}(x)) d x,

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dado: a integral indefinida \displaystyle \int \cos(x)\,\cos^{5}\!\big(\operatorname{sen}(x)\big)\,dx.\n
  • Pedido: encontrar uma antiderivada (ou primitiva) dessa função, ou seja, calcular a integral indefinida.\n
    Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
  • Aparece \cos(x) multiplicando \cos^{5}\!\big(\operatorname{sen}(x)\big).\n
  • Dentro da função trigonométrica \cos^{5}(\cdot) está \operatorname{sen}(x) (ou seja, \sin(x)).\n
  • Temos uma composição de funções do tipo f(\sin x) multiplicada por \cos x, o que sugere que uma substituição que envolva \sin x pode ser útil.\n

Passo 2

Ideia do método (substituição) e execução inicial.\n
A técnica que vamos usar chama-se substituição (u-substitution). A regra geral é: se tivermos uma integral da forma \int f(g(x))\,g'(x)\,dx, podemos colocar \,u=g(x) e \,du=g'(x)\,dx, transformando a integral em \int f(u)\,du. Aqui temos exatamente um fator \cos x que é a derivada de \sin x. Então fazemos a substituição\n
u = \operatorname{sen}(x).
Explicação das variáveis: \,u é uma nova variável definida como a função interna \sin(x). Agora calculamos du:\n
du = \cos(x)\,dx.
Portanto \cos(x)\,dx = du. Substituindo na integral original obtemos\n
\int \cos(x)\,\cos^{5}\!\big(\operatorname{sen}(x)\big)\,dx = \int \cos^{5}(u)\,du.
Agora o problema virou integrar \displaystyle \int \cos^{5}(u)\,du.

Passo 3

Estratégia para integrar \displaystyle \int \cos^{5}(u)\,du.\n
Para potências ímpares de cosseno é conveniente separar um fator \cos u e usar a identidade \cos^{2}u = 1 - \sin^{2}u. Escrevemos\n
\cos^{5}u = \cos u \cdot (\cos^{2}u)^{2} = \cos u \cdot (1 - \sin^{2}u)^{2}.
Aqui usamos a identidade trigonométrica básica \cos^{2}u + \sin^{2}u = 1, então \cos^{2}u = 1 - \sin^{2}u. Repare que agora a expressão está em termos de \sin u multiplicada por \cos u\,du, o que permite outra substituição direta.

Passo 4

Segunda substituição e transformação em integral de polinômio.\n
Definimos uma nova variável para a parte \sin u:\n
w = \sin u.
Então dw = \cos u\,du. Substituindo na integral de \cos^{5}u obtemos\n
\int \cos^{5}u\,du = \int (1 - \sin^{2}u)^{2}\cos u\,du = \int (1 - w^{2})^{2}\,dw.
Agora (1 - w^{2})^{2} é um polinômio; vamos expandi-lo para integrar termo a termo:
(1 - w^{2})^{2} = 1 - 2w^{2} + w^{4}.

Passo 5

Integração do polinômio e cálculo explícito.\n
Integramos cada termo separadamente:
\int (1 - 2w^{2} + w^{4})\,dw = \int 1\,dw - 2\int w^{2}\,dw + \int w^{4}\,dw.
Calculando as primitivas:
\int 1\,dw = w,\qquad \int w^{2}\,dw = \frac{w^{3}}{3},\qquad \int w^{4}\,dw = \frac{w^{5}}{5}.
Substituindo:
\int (1 - 2w^{2} + w^{4})\,dw = w - 2\cdot\frac{w^{3}}{3} + \frac{w^{5}}{5} + C = w - \frac{2}{3}w^{3} + \frac{1}{5}w^{5} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Volta das substituições para a variável original e conclusão da antiderivada.\n
Agora desfazemos as substituições passo a passo. Lembrando que w=\sin u e u=\sin x, temos\n
w = \sin u = \sin(\,u\,)\quad\text{e}\quad u=\sin x,
logo w = \sin(\sin x). Substituindo na primitiva obtida no Passo 5:\n
\boxed{\; \sin(\sin x) \;-\; \frac{2}{3}\sin^{3}(\sin x) \;+\; \frac{1}{5}\sin^{5}(\sin x) \;+\; C \; }.
Esse é um antiderivada da função original. (Se quiser confirmar, diferencie essa expressão usando a regra da cadeia e verá que volta para \cos(x)\cos^{5}(\sin x).)

Resposta

\displaystyle \sin(\sin x)-\frac{2}{3}\sin^{3}(\sin x)+\frac{1}{5}\sin^{5}(\sin x)+C

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