Calcule as seguintes integrais:
,
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- Dado: a integral indefinida
.\n - Pedido: encontrar uma antiderivada (ou primitiva) dessa função, ou seja, calcular a integral indefinida.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n - Aparece
multiplicando .\n - Dentro da função trigonométrica
está (ou seja, ).\n - Temos uma composição de funções do tipo
multiplicada por , o que sugere que uma substituição que envolva pode ser útil.\n
Passo 2
Ideia do método (substituição) e execução inicial.\n
A técnica que vamos usar chama-se substituição (u-substitution). A regra geral é: se tivermos uma integral da forma , podemos colocar
e
, transformando a integral em
. Aqui temos exatamente um fator
que é a derivada de
. Então fazemos a substituição\n
A técnica que vamos usar chama-se substituição (u-substitution). A regra geral é: se tivermos uma integral da forma
Explicação das variáveis:
é uma nova variável definida como a função interna
. Agora calculamos
:\n
Portanto
. Substituindo na integral original obtemos\n
Agora o problema virou integrar
.
Passo 3
Estratégia para integrar
.\n
Para potências ímpares de cosseno é conveniente separar um fator e usar a identidade
. Escrevemos\n
Para potências ímpares de cosseno é conveniente separar um fator
Aqui usamos a identidade trigonométrica básica
, então
. Repare que agora a expressão está em termos de
multiplicada por
, o que permite outra substituição direta.
Passo 4
Segunda substituição e transformação em integral de polinômio.\n
Definimos uma nova variável para a parte :\n
Definimos uma nova variável para a parte
Então
. Substituindo na integral de
obtemos\n
Agora
é um polinômio; vamos expandi-lo para integrar termo a termo:
Passo 5
Integração do polinômio e cálculo explícito.\n
Integramos cada termo separadamente:
Integramos cada termo separadamente:
Calculando as primitivas:
Substituindo:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Volta das substituições para a variável original e conclusão da antiderivada.\n
Agora desfazemos as substituições passo a passo. Lembrando que e
, temos\n
Agora desfazemos as substituições passo a passo. Lembrando que
logo
. Substituindo na primitiva obtida no Passo 5:\n
Esse é um antiderivada da função original. (Se quiser confirmar, diferencie essa expressão usando a regra da cadeia e verá que volta para
.)