1. Determine (x, y) que maximiza (minimiza) a função f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}, \operatorname{com} x e y sujeitos às restrições: y=1-2 x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos (x,y) que maximizam e que minimizam a função f(x,y)=x^{2}+2y^{2} sujeita às restrições
y=1-2x,\qquad 0\le x\le \tfrac{1}{2}.
Informações relevantes dadas:
\text{(i) }f(x,y)=x^{2}+2y^{2};
\text{(ii) }y \text{ é dado em função de } x \text{ por } y=1-2x;éçã
\text{(iii) }x \text{ varia no intervalo fechado }[0,\tfrac{1}{2}].
Precisamos, portanto, encontrar os pontos (x,y) no segmento de reta determinado por y=1-2x com x\in[0,\tfrac{1}{2}] que tornam f mínima e máxima.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): como a restrição expressa y em função de x, podemos substituir y em f e reduzir o problema a uma função de uma variável x definida no intervalo fechado [0,\tfrac{1}{2}]. Em problemas assim, para encontrar extremos num intervalo fechado usamos:
  1. derivada para achar pontos críticos internos (onde g'(x)=0 ou g' não existe);
  2. avaliação dos extremos do intervalo (as bordas x=0 e x=\tfrac{1}{2});
  3. comparar os valores para decidir mínimo e máximo global.
    Vou fazer isso passo a passo e explicar cada fórmula usada.

Passo 3

Substituição e simplificação: substituir y=1-2x em f para obter uma função unidimensional g(x)=f(x,1-2x).
g(x)=x^{2}+2(1-2x)^{2}.
Agora expandimos (1-2x)^{2}:
(1-2x)^{2}=1-4x+4x^{2}.
Substituindo na expressão de g:
g(x)=x^{2}+2(1-4x+4x^{2})=x^{2}+2-8x+8x^{2}.
Somando termos semelhantes:
g(x)=9x^{2}-8x+2.

Passo 4

Cálculo da derivada e pontos críticos: para encontrar extremos internos calculamos a derivada de g. Relembrando: a derivada de ax^{2} é 2ax e a derivada de bx é b.
g'(x)=\frac{d}{dx}(9x^{2}-8x+2)=18x-8.
Igualamos a zero para achar pontos críticos:
18x-8=0 \implies x=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}.
Verificamos se este valor está dentro do intervalo dado: \tfrac{4}{9}\approx0,444\ldots e como \tfrac{4}{9}\in[0,\tfrac{1}{2}], é um ponto crítico válido do problema restrito.

Passo 5

Classificação do ponto crítico (segundo teste): calculamos a segunda derivada. Relembrando: a segunda derivada de ax^{2} é 2a.
g''(x)=\frac{d}{dx}(18x-8)=18.
Como g''(x)=18>0 para todo x, a parábola abre para cima e o ponto crítico encontrado é um mínimo local. Como estamos em um intervalo fechado e a função é contínua, esse mínimo local é também o mínimo global no intervalo.

Passo 6

Cálculo do valor mínimo e da coordenada y: substituímos x=\tfrac{4}{9} em g(x) para achar o valor mínimo.
g\!\left(\tfrac{4}{9}\right)=9\left(\tfrac{4}{9}\right)^{2}-8\left(\tfrac{4}{9}\right)+2.
Calculando passo a passo:
9\left(\tfrac{16}{81}\right)=\tfrac{144}{81}=\tfrac{16}{9},
-8\left(\tfrac{4}{9}\right)=-\tfrac{32}{9},
então
g\!\left(\tfrac{4}{9}\right)=\tfrac{16}{9}-\tfrac{32}{9}+2=-\tfrac{16}{9}+2=\!-\tfrac{16}{9}+\tfrac{18}{9}=\tfrac{2}{9}.
A coordenada y correspondente vem da restrição y=1-2x:
y=1-2\left(\tfrac{4}{9}\right)=1-\tfrac{8}{9}=\tfrac{1}{9}.
Portanto temos um mínimo em \left(\tfrac{4}{9},\tfrac{1}{9}\right) com valor f=\tfrac{2}{9}.

Passo 7

Avaliação dos extremos do intervalo (bordas) para encontrar possível máximo: calculamos g(0) e g(\tfrac{1}{2}).
Primeiro x=0: pela restrição y=1-2\cdot0=1. Então
g(0)=0^{2}+2\cdot1^{2}=2.
Segundo x=\tfrac{1}{2}: pela restrição y=1-2\cdot\tfrac{1}{2}=0. Então
g\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+2\cdot 0^{2}=\tfrac{1}{4}.
Comparando os valores obtidos no intervalo:
g\!\left(\tfrac{4}{9}\right)=\tfrac{2}{9}\approx0{,}222,\quad g\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{4}=0{,}25,\quad g(0)=2.
O maior desses é 2 em x=0. Assim o máximo ocorre em x=0, com y=1 e f=2.

Resposta

Mínimo: \left(\tfrac{4}{9},\tfrac{1}{9}\right) com f=\tfrac{2}{9}.
Máximo: (0,1) com f=2.

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