- Determine
que maximiza (minimiza) a função
e
sujeitos às restrições:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos
que maximizam e que minimizam a função
sujeita às restrições
Informações relevantes dadas:
Precisamos, portanto, encontrar os pontos
no segmento de reta determinado por
com
que tornam
mínima e máxima.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): como a restrição expressa
em função de
, podemos substituir
em
e reduzir o problema a uma função de uma variável
definida no intervalo fechado
. Em problemas assim, para encontrar extremos num intervalo fechado usamos:
- derivada para achar pontos críticos internos (onde
ou não existe); - avaliação dos extremos do intervalo (as bordas
e ); - comparar os valores para decidir mínimo e máximo global.
Vou fazer isso passo a passo e explicar cada fórmula usada.
Passo 3
Substituição e simplificação: substituir
em
para obter uma função unidimensional
.
Agora expandimos
:
Substituindo na expressão de
:
Somando termos semelhantes:
Passo 4
Cálculo da derivada e pontos críticos: para encontrar extremos internos calculamos a derivada de
. Relembrando: a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Igualamos a zero para achar pontos críticos:
Verificamos se este valor está dentro do intervalo dado:
e como
, é um ponto crítico válido do problema restrito.
Passo 5
Classificação do ponto crítico (segundo teste): calculamos a segunda derivada. Relembrando: a segunda derivada de
é
.
Como
para todo
, a parábola abre para cima e o ponto crítico encontrado é um mínimo local. Como estamos em um intervalo fechado e a função é contínua, esse mínimo local é também o mínimo global no intervalo.
Passo 6
Cálculo do valor mínimo e da coordenada
: substituímos
em
para achar o valor mínimo.
Calculando passo a passo:
então
A coordenada
correspondente vem da restrição
:
Portanto temos um mínimo em
com valor
.
Passo 7
Avaliação dos extremos do intervalo (bordas) para encontrar possível máximo: calculamos
e
.
Primeiro : pela restrição
. Então
Primeiro
Segundo
: pela restrição
. Então
Comparando os valores obtidos no intervalo:
O maior desses é
em
. Assim o máximo ocorre em
, com
e
.
Resposta
Mínimo:
com
.
Máximo: com
.
Máximo: