Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{2}(x) \cos ^{4}(x) d x,

Passo 1

O problema pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{4}(x)\,dx.
Informações dadas:
\text{Integrando: }\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{4}(x), \qquad \text{Intervalo: }[0,\pi].
Não há outras condições ocultas: queremos o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Vamos usar identidades trigonométricas de redução de potência. Estas fórmulas permitem transformar potências de seno e cosseno em combinações de cossenos de ângulos múltiplos, que são fáceis de integrar. As identidades básicas e sua justificativa rápida são:
A identidade para \sin^{2}x vem de \cos(2x)=1-2\sin^{2}x. Isolando \sin^{2}x obtemos
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
A identidade para \cos^{2}x vem de \cos(2x)=2\cos^{2}x-1. Isolando \cos^{2}x obtemos
\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Explico as variáveis: x é a variável de integração (ângulo em radianos). Essas transformações trocam potências por cossenos de múltiplos de x, o que facilita a integração.

Passo 3

Primeiro escrevo \cos^{4}x como (\cos^{2}x)^{2} e uso a identidade para \cos^{2}x:
\cos^{4}x=\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^{2}.
Faço a expansão:
\cos^{4}x=\frac{1+2\cos(2x)+\cos^{2}(2x)}{4}.
Agora substituo \cos^{2}(2x) usando a redução de potência para o argumento 2x:
\cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}.
Substituindo na expressão anterior:
\cos^{4}x=\frac{1+2\cos(2x)+\tfrac{1+\cos(4x)}{2}}{4}.
Faço a soma no numerador: 1 + 2\cos(2x) + \tfrac{1}{2} + \tfrac{\cos(4x)}{2} = \tfrac{3}{2} + 2\cos(2x) + \tfrac{\cos(4x)}{2}. Dividindo por 4 resulta
\cos^{4}x=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x).

Passo 4

Agora multiplico por \sin^{2}x, lembrando que \sin^{2}x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}. Portanto
\sin^{2}x\cos^{4}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x)\right).
Faço a distribuição passo a passo. Primeiro a metade da soma:
\frac{1}{2}\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x)\right)=\frac{3}{16}+\frac{1}{4}\cos(2x)+\frac{1}{16}\cos(4x).
Agora a parte multiplicada por -\dfrac{\cos(2x)}{2}:
\frac{\cos(2x)}{2}\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x)\right) =\frac{3}{16}\cos(2x)+\frac{1}{4}\cos^{2}(2x)+\frac{1}{16}\cos(2x)\cos(4x).
Subtraindo essa última expressão da primeira (pois tínhamos 1-\cos(2x)) obtemos
\sin^{2}x\cos^{4}x=\frac{3}{16}+\frac{1}{4}\cos(2x)+\frac{1}{16}\cos(4x) -\frac{3}{16}\cos(2x)-\frac{1}{4}\cos^{2}(2x)-\frac{1}{16}\cos(2x)\cos(4x).
Agrupando termos semelhantes:
\sin^{2}x\cos^{4}x=\frac{3}{16}+\frac{1}{16}\cos(2x)+\frac{1}{16}\cos(4x)-\frac{1}{4}\cos^{2}(2x)-\frac{1}{16}\cos(2x)\cos(4x).
Agora reduzo as potências e produtos restantes. Uso \cos^{2}(2x)=\dfrac{1+\cos(4x)}{2} e a identidade produto-para-soma
\cos A\cos B=\frac{1}{2}\big(\cos(A+B)+\cos(A-B)\big).
Aplicando:
\cos(2x)\cos(4x)=\frac{1}{2}\big(\cos(6x)+\cos(2x)\big).
Substituo essas expressões na decomposição e simplifico os coeficientes (faça as contas com calma):
o resultado final da decomposição é
\sin^{2}x\cos^{4}x=\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\cos(2x)-\frac{1}{16}\cos(4x)-\frac{1}{32}\cos(6x).

Passo 5

Agora integro termo a termo no intervalo [0,\pi]:
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\cos^{4}x\,dx =\int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\cos(2x)-\frac{1}{16}\cos(4x)-\frac{1}{32}\cos(6x)\right)dx.
A integral do termo constante é simples:
\int_{0}^{\pi}\frac{1}{16}\,dx=\frac{1}{16}\pi.
Para os termos com cosseno, uso que
\int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx=\left[\frac{\sin(kx)}{k}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\sin(k\pi)-\sin(0)}{k}=0
quando k é inteiro (pois \sin(k\pi)=0). Assim
\int_{0}^{\pi}\frac{1}{32}\cos(2x)\,dx =\int_{0}^{\pi}-\frac{1}{16}\cos(4x)\,dx =\int_{0}^{\pi}-\frac{1}{32}\cos(6x)\,dx =0.
Portanto só sobra o termo constante.

Resposta

\dfrac{\pi}{16}

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