Calcule as seguintes integrais:
,
Passo 1
O problema pede para calcular a integral
Informações dadas:
Não há outras condições ocultas: queremos o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Vamos usar identidades trigonométricas de redução de potência. Estas fórmulas permitem transformar potências de seno e cosseno em combinações de cossenos de ângulos múltiplos, que são fáceis de integrar. As identidades básicas e sua justificativa rápida são:
A identidade para
vem de
. Isolando
obtemos
A identidade para
vem de
. Isolando
obtemos
Explico as variáveis:
é a variável de integração (ângulo em radianos). Essas transformações trocam potências por cossenos de múltiplos de
, o que facilita a integração.
Passo 3
Primeiro escrevo
como
e uso a identidade para
:
Faço a expansão:
Agora substituo
usando a redução de potência para o argumento
:
Substituindo na expressão anterior:
Faço a soma no numerador:
. Dividindo por
resulta
Passo 4
Agora multiplico por
, lembrando que
. Portanto
Faço a distribuição passo a passo. Primeiro a metade da soma:
Agora a parte multiplicada por
:
Subtraindo essa última expressão da primeira (pois tínhamos
) obtemos
Agrupando termos semelhantes:
Agora reduzo as potências e produtos restantes. Uso
e a identidade produto-para-soma
Aplicando:
Substituo essas expressões na decomposição e simplifico os coeficientes (faça as contas com calma):
o resultado final da decomposição é
o resultado final da decomposição é
Passo 5
Agora integro termo a termo no intervalo
:
A integral do termo constante é simples:
Para os termos com cosseno, uso que
quando
é inteiro (pois
). Assim
Portanto só sobra o termo constante.