Calcule as seguintes integrais: \int \frac{\cos x}{2-\operatorname{sen}^{2} x} d x Passo 1O enunciado pede para calcular a integral \int \frac{\cos x}{2 - \operatorname{sen}^2 x}\,dx. Isso envolve uma função racional em \operatorname{sen} x multiplicada por \cos x. Vamos usar substituição trigonométrica, definindo u = \operatorname{sen} x, o que transforma a integral em uma integral racional em u. Passo 2Fazendo a substituição u = \operatorname{sen} x, \qquad du = \cos x\,dx, temos \int \frac{\cos x}{2 - \operatorname{sen}^2 x}\,dx = \int \frac{du}{2 - u^2}. Passo 3Para calcular \int \frac{du}{2 - u^2} reconhecemos a forma padrão \int \frac{du}{a^2 - u^2} = \frac{1}{2a}\ln\Bigl|\frac{a+u}{a-u}\Bigr| + C, onde a^2 = 2, isto é, a = \sqrt{2}. Substituindo, obtemos \int \frac{du}{2 - u^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\Bigl|\frac{\sqrt{2} + u}{\sqrt{2} - u}\Bigr| + C. Passo 4Voltando à variável original x com u = \operatorname{sen} x, a antiderivada fica \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\Bigl|\frac{\sqrt{2} + \operatorname{sen} x}{\sqrt{2} - \operatorname{sen} x}\Bigr| + C. Resposta \int \frac{\cos x}{2 - \operatorname{sen}^2 x}\,dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\Bigl|\frac{\sqrt{2} + \operatorname{sen} x}{\sqrt{2} - \operatorname{sen} x}\Bigr| + C. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule as seguintes integrais: \int \frac{\cos x}{2-\operatorname{sen}^{2} x} d x Calcule as seguintes integrais trigonométricas: \int \operatorname{tg}^{5} x \cdot \operatorname{sec} ^{2} x d x Calcule as seguintes integrais: \int \frac{\cos x}{2-\operatorname{sen}^{2} x} d x Para resolver a equação diferencial \frac{d y}{d x}-y^{2}=1, um aluno neófito pensou assim: “Determinarei o valor de y e, ao final, acrescentarei a constante C \in \mathbb{R}, uma vez que a integral obtida é indefinida”. Com essa ideia, o cálculo desse aluno foi o seguinte: \frac{d y}{d x}-y^{2}=1 \Rightarrow \frac{1}{1+y^{2}} d y=1 d x \Rightarrow \int \frac{1}{1+y^{2}} d y=\int 1 d x \Rightarrow \operatorname{arctg} y=x \Rightarrow y=\operatorname{tg} x Portanto, continuou o aluno, a função que responde a questão é y=\operatorname{tg} x+C onde C \in \mathbb{R}. Pergunta-se: A solução apresentada pelo estudante está correta? Justifique.