Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{\cos x}{2-\operatorname{sen}^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\cos x}{2 - \operatorname{sen}^2 x}\,dx.
Isso envolve uma função racional em \operatorname{sen} x multiplicada por \cos x. Vamos usar substituição trigonométrica, definindo u = \operatorname{sen} x, o que transforma a integral em uma integral racional em u.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \operatorname{sen} x, \qquad du = \cos x\,dx,
temos
\int \frac{\cos x}{2 - \operatorname{sen}^2 x}\,dx = \int \frac{du}{2 - u^2}.

Passo 3

Para calcular
\int \frac{du}{2 - u^2}
reconhecemos a forma padrão
\int \frac{du}{a^2 - u^2} = \frac{1}{2a}\ln\Bigl|\frac{a+u}{a-u}\Bigr| + C,
onde a^2 = 2, isto é, a = \sqrt{2}. Substituindo, obtemos
\int \frac{du}{2 - u^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\Bigl|\frac{\sqrt{2} + u}{\sqrt{2} - u}\Bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável original x com u = \operatorname{sen} x, a antiderivada fica
\frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\Bigl|\frac{\sqrt{2} + \operatorname{sen} x}{\sqrt{2} - \operatorname{sen} x}\Bigr| + C.

Resposta

\int \frac{\cos x}{2 - \operatorname{sen}^2 x}\,dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\Bigl|\frac{\sqrt{2} + \operatorname{sen} x}{\sqrt{2} - \operatorname{sen} x}\Bigr| + C.

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